Considere as seguintes bases de
:
Encontre
sabendo que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas bases,
e
, no espaço
. A questão pede para encontrar as coordenadas do vetor
na base
, sabendo que ele tem coordenadas
na base
. Vamos usar a teoria de mudança de base e combinações lineares pra chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que o vetor
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base
. Ou seja:
Onde
e
.
Passo 3
Vamos calcular o vetor
usando essa combinação linear:
Fazendo as multiplicações:
Agora, somamos os componentes correspondentes:
Então,
.
Passo 4
Agora, queremos encontrar as coordenadas de
na base
. A base
é
. Ou seja, queremos achar escalares
e
tais que:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos escrever isso como um sistema de equações:
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Resposta
Portanto, as coordenadas de
na base
são: