Considere as seguintes bases de R^3 :
alpha=(10,3),(-1,-1) e beta=(1,3),(2,1)
Encontre [u]alpha sabendo que [u]beta=[r-1 2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas bases, -1 2 e , no espaço . A questão pede para encontrar as coordenadas do vetor na base , sabendo que ele tem coordenadas na base . Vamos usar a teoria de mudança de base e combinações lineares pra chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa -1 2 . Isso quer dizer que o vetor u = -1 cdot beta1 + 2 cdot beta2 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja:
Onde e .

Passo 3

Vamos calcular o vetor u = -1 cdot (1, 3) + 2 cdot (2, 1) usando essa combinação linear:
u = (-1 cdot 1, -1 cdot 3) + (2 cdot 2, 2 cdot 1) = (-1, -3) + (4, 2)
Fazendo as multiplicações:
u = (-1 + 4, -3 + 2) = (3, -1)
Agora, somamos os componentes correspondentes:
Então, .

Passo 4

Agora, queremos encontrar as coordenadas de u = a cdot alpha1 + b cdot alpha2 na base (3, -1) = a cdot (10, 3) + b cdot (-1, -1) . A base é . Ou seja, queremos achar escalares e tais que:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos escrever isso como um sistema de equações:
10a - b = 3 3a - b = -1
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar (10a - b) - (3a - b) = 3 - (-1) 7a = 4 a = 47 e 3(47) - b = -1 127 - b = -1 -b = -1 - 127 -b = -197 b = 197 .
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituímos na segunda equação:

Resposta

Portanto, as coordenadas de [u]alpha = dfrac47 dfrac197 na base são:

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