Se u=2 i-j+4 k, v=2 i+6 j-2 k e w=-2 i+2 k, calcule: |u times w|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores: u=2 i-j+4 k, v=2 i+6 j-2 k e w=-2 i+2 k. A questão pede para calcularmos o módulo do produto vetorial entre u e w, ou seja, |u times w|. Para isso, vamos precisar saber como calcular o produto vetorial e depois encontrar o módulo desse vetor resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial entre dois vetores. Se tivermos a = ax i + ay j + az k e b = bx i + by j + bz k, então:
a times b = i & j & k ax & ay & az bx & by & bz = (ay bz - az by)i - (ax bz - az bx)j + (ax by - ay bx)k
Vamos aplicar isso aos nossos vetores u e w.

Passo 3

Vamos identificar as componentes de u e w:
u = 2 i - 1 j + 4 k Rightarrow ux = 2, uy = -1, uz = 4
w = -2 i + 0 j + 2 k Rightarrow wx = -2, wy = 0, wz = 2

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula do produto vetorial:
u times w = i & j & k 2 & -1 & 4 -2 & 0 & 2
Calculando cada componente:
i: (-1)(2) - (4)(0) = -2 - 0 = -2
j: -(2)(2) - (4)(-2) = -4 + 8 = 4
k: (2)(0) - (-1)(-2) = 0 - 2 = -2
Então:
u times w = -2i + 4j - 2k

Passo 5

Para encontrar o módulo desse vetor, usamos a fórmula:
|u times w| = raiz(-2)^2 + 4^2 + (-2)^2 = raiz4 + 16 + 4 = raiz24
Podemos simplificar:
raiz24 = 2raiz6

Resposta

O módulo do produto vetorial u times w é 2raiz6.

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