Considere as seguintes bases ordenadas do : com , ,
e com , , .
Seja (o elemento da segunda linha, segunda coluna) da matriz mudança de base de para .
Calcule o valor de 3 vezes . (ou seja ).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases ordenadas de , chamadas de e , cada uma composta por três vetores. Queremos encontrar o elemento da matriz de mudança de base de para e depois calcular .
Para resolver isso, precisamos saber como transformar as coordenadas de um vetor da base para a base . Vamos precisar usar conceitos de mudança de base e matrizes de transição.
Passo 2
A matriz de mudança de base de para , chamada de matriz de transição , é formada pelas coordenadas de cada vetor da base expressas na base . Isso significa que precisamos expressar cada vetor da base como uma combinação linear dos vetores da base .
Matematicamente, para cada , buscamos coeficientes tais que:
Passo 3
Vamos começar encontrando as coordenadas de na base . Temos:
e
Queremos resolver:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
c11 - c13 = 0 implies c11 = c13
Da terceira equação:
- c11 + c12 = -1 implies c12 = c11 - 1
Substituindo c12 + c13 = (c11 - 1) + c11 = 2c11 - 1 = 1 implies 2c11 = 2 implies c11 = 1 e c13 = 1 e c12 = 1 - 1 = 0 na primeira equação:
[v1]gamma = 1 0 1
Então:
Portanto, as coordenadas de na base são:
Passo 5
Repetimos o mesmo processo para (0, 6, -2) = c21(0, 1, -1) + c22(1, 0, 1) + c23(1, -1, 0) :
Substituindo c32 + c33 = c31 + c31 = 2c31 = -1 implies c31 = -12 e c33 = -12 e c32 = -12 na primeira equação:
[v3]gamma = -12 -12 -12
Então:
Portanto, as coordenadas de na base são:
Passo 9
Agora que temos as coordenadas de todos os vetores da base P = 1 & 4 & -12 0 & 2 & -12 1 & -2 & -12 na base , podemos construir a matriz de transição :
Aqui, cada coluna de corresponde às coordenadas de na base .
Passo 10
O elemento a22 = 2 é o elemento na segunda linha e segunda coluna da matriz 3 times a22 = 3 times 2 = 6 . Observando a matriz: