Considere as seguintes bases ordenadas do R^3 :
beta=v1, v2, v3 com
v1=(1,0,-1),
v2=(0,6,-2),
v3=(-1,0,0) e
e gamma=w1, w2, w3 com
w1=(0,1,-1),
w2=(1,0,1),
w3=(1,-1,0).
Seja a22 (o elemento da segunda linha, segunda coluna) da matriz mudança de base de beta para gamma.
Calcule o valor de 3 vezes a22. (ou seja 3 a22 ).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases ordenadas de , chamadas de e , cada uma composta por três vetores. Queremos encontrar o elemento da matriz de mudança de base de para e depois calcular .
Para resolver isso, precisamos saber como transformar as coordenadas de um vetor da base para a base . Vamos precisar usar conceitos de mudança de base e matrizes de transição.

Passo 2

A matriz de mudança de base de vi = ci1w1 + ci2w2 + ci3w3 para , chamada de matriz de transição , é formada pelas coordenadas de cada vetor da base expressas na base . Isso significa que precisamos expressar cada vetor da base como uma combinação linear dos vetores da base .
Matematicamente, para cada , buscamos coeficientes tais que:

Passo 3

Vamos começar encontrando as coordenadas de v1 = (1, 0, -1) na base w1 = (0, 1, -1), w2 = (1, 0, 1), w3 = (1, -1, 0) . Temos:
(1, 0, -1) = c11(0, 1, -1) + c12(1, 0, 1) + c13(1, -1, 0)
e
0c11 + 1c12 + 1c13 = 1 1c11 + 0c12 - 1c13 = 0 -1c11 + 1c12 + 0c13 = -1
Queremos resolver:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
c11 - c13 = 0 implies c11 = c13
Da terceira equação:
- c11 + c12 = -1 implies c12 = c11 - 1
Substituindo c12 + c13 = (c11 - 1) + c11 = 2c11 - 1 = 1 implies 2c11 = 2 implies c11 = 1 e c13 = 1 e c12 = 1 - 1 = 0 na primeira equação:
[v1]gamma = 1 0 1
Então:
Portanto, as coordenadas de na base são:

Passo 5

Repetimos o mesmo processo para (0, 6, -2) = c21(0, 1, -1) + c22(1, 0, 1) + c23(1, -1, 0) :
0c21 + 1c22 + 1c23 = 0 1c21 + 0c22 - 1c23 = 6 -1c21 + 1c22 + 0c23 = -2
Isso resulta em:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
c21 - c23 = 6 implies c21 = 6 + c23
Da terceira equação:
- c21 + c22 = -2 implies - (6 + c23) + c22 = -2 implies c22 = 6 + c23 - 2 = 4 + c23
Substituindo c22 + c23 = (4 + c23) + c23 = 4 + 2c23 = 0 implies 2c23 = -4 implies c23 = -2 e c21 = 6 - 2 = 4 e c22 = 4 - 2 = 2 na primeira equação:
[v2]gamma = 4 2 -2
Então:
Portanto, as coordenadas de na base são:

Passo 7

Agora, para (-1, 0, 0) = c31(0, 1, -1) + c32(1, 0, 1) + c33(1, -1, 0) :
0c31 + 1c32 + 1c33 = -1 1c31 + 0c32 - 1c33 = 0 -1c31 + 1c32 + 0c33 = 0
Isso resulta em:

Passo 8

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
c31 - c33 = 0 implies c31 = c33
Da terceira equação:
- c31 + c32 = 0 implies c32 = c31
Substituindo c32 + c33 = c31 + c31 = 2c31 = -1 implies c31 = -12 e c33 = -12 e c32 = -12 na primeira equação:
[v3]gamma = -12 -12 -12
Então:
Portanto, as coordenadas de na base são:

Passo 9

Agora que temos as coordenadas de todos os vetores da base P = 1 & 4 & -12 0 & 2 & -12 1 & -2 & -12 na base , podemos construir a matriz de transição :
Aqui, cada coluna de corresponde às coordenadas de na base .

Passo 10

O elemento a22 = 2 é o elemento na segunda linha e segunda coluna da matriz 3 times a22 = 3 times 2 = 6 . Observando a matriz:
Agora, vamos calcular :

Resposta

O valor de é .

Exercícios relacionados