Mostre se as transformações lineares abaixo são isomorfismos. Em caso negativo, mostre se falha a injetividade ou a sobrejetividade. T: R^3 P^2, dada por T(a, b, c)=(a-c)+(c-a) x+(b+c) x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos se a transformação linear , dada por , é um isomorfismo. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de transformação linear, isomorfismo, injetividade e sobrejetividade. Basicamente, um isomorfismo é uma transformação que é ao mesmo tempo injetora (nenhum elemento do domínio mapeia para o mesmo elemento do contradomínio) e sobrejetora (cada elemento do contradomínio é atingido por pelo menos um elemento do domínio).

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que é realmente uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades: aditividade e homogeneidade. No nosso caso, é uma combinação linear das coordenadas , e , então sim, é linear.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a - c = 0 c - a = 0 b + c = 0 é injetora. Para isso, precisamos ver se o núcleo (ou kernel) da transformação contém apenas o vetor nulo. Ou seja, resolveremos .
Isso significa que:
Da primeira equação, . Da segunda, , que confirma . Da terceira, substituindo , temos , ou seja, .
Então, qualquer vetor do tipo está no núcleo de . Como existem infinitas soluções para (diferentes de zero), o núcleo não contém apenas o vetor nulo. Portanto, não é injetora.

Passo 4

Como não é injetora, já sabemos que não pode ser um isomorfismo. Mas, para completar a análise, vamos verificar a sobrejetividade.
A dimensão do domínio é 3, e a dimensão do contradomínio (espaço dos polinômios de grau no máximo 2) também é 3. Se a transformação fosse injetora, pela teoria do espaço vetorial, ela também seria sobrejetora. Mas como não é injetora, podemos concluir que, apesar das dimensões serem iguais, não é sobrejetora.

Resposta

A transformação linear não é um isomorfismo porque ela falha na injetividade.

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