Mostre se as transformações lineares abaixo são isomorfismos. Em caso negativo, mostre se falha a injetividade ou a sobrejetividade. , dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos se a transformação linear , dada por , é um isomorfismo. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de transformação linear, isomorfismo, injetividade e sobrejetividade. Basicamente, um isomorfismo é uma transformação que é ao mesmo tempo injetora (nenhum elemento do domínio mapeia para o mesmo elemento do contradomínio) e sobrejetora (cada elemento do contradomínio é atingido por pelo menos um elemento do domínio).
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que é realmente uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades: aditividade e homogeneidade. No nosso caso, é uma combinação linear das coordenadas , e , então sim, é linear.
Passo 3
Agora, vamos verificar se é injetora. Para isso, precisamos ver se o núcleo (ou kernel) da transformação contém apenas o vetor nulo. Ou seja, resolveremos .
Isso significa que:
Da primeira equação, . Da segunda, , que confirma . Da terceira, substituindo , temos , ou seja, .
Então, qualquer vetor do tipo está no núcleo de . Como existem infinitas soluções para (diferentes de zero), o núcleo não contém apenas o vetor nulo. Portanto, não é injetora.
Passo 4
Como não é injetora, já sabemos que não pode ser um isomorfismo. Mas, para completar a análise, vamos verificar a sobrejetividade.
A dimensão do domínio é 3, e a dimensão do contradomínio (espaço dos polinômios de grau no máximo 2) também é 3. Se a transformação fosse injetora, pela teoria do espaço vetorial, ela também seria sobrejetora. Mas como não é injetora, podemos concluir que, apesar das dimensões serem iguais, não é sobrejetora.
Resposta
A transformação linear não é um isomorfismo porque ela falha na injetividade.