Determine a transformação linear T: R^2 P3, tal que T(1,1)=x e T(-1,1)=x-x^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar uma transformação linear . Ou seja, precisamos encontrar uma regra que pega vetores de e os transforma em polinômios de até grau 3. A gente sabe que e . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre transformações lineares e como elas funcionam entre espaços vetoriais diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é definida por como ela age sobre os vetores da base do espaço de partida. No caso, nosso espaço de partida é , que tem a base canônica , onde e .

Passo 3

Nosso objetivo é descobrir como T(a, b) = a cdot T(e1) + b cdot T(e2) transforma qualquer vetor em . Para isso, vamos expressar em termos de e , usando a propriedade da linearidade:

Passo 4

Agora, precisamos descobrir quais são T(1,1) = x e T(-1,1) = x - x^3 e T(1,1) = T(e1) + T(e2) = x . Sabemos que:
T(-1,1) = -T(e1) + T(e2) = x - x^3
Vamos escrever essas equações em termos de e :

Passo 5

Agora temos um sistema de equações para resolver:
T(e1) + T(e2) = x -T(e1) + T(e2) = x - x^3
Vamos somar as duas equações para eliminar 2T(e2) = 2x - x^3 implies T(e2) = x - 12x^3 :
T(e1) + (x - 12x^3) = x implies T(e1) = 12x^3
Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 6

Com T(a, b) = a cdot 12x^3 + b cdot (x - 12x^3) = b cdot x + (a2 - b2)x^3 e determinados, podemos escrever a transformação linear completa:

Resposta

A transformação linear T(a, b) = b,x + (a - b2)x^3 é dada por:

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