Determine a transformação linear
, tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar uma transformação linear
. Ou seja, precisamos encontrar uma regra que pega vetores de
e os transforma em polinômios de até grau 3. A gente sabe que
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre transformações lineares e como elas funcionam entre espaços vetoriais diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é definida por como ela age sobre os vetores da base do espaço de partida. No caso, nosso espaço de partida é
, que tem a base canônica
, onde
e
.
Passo 3
Nosso objetivo é descobrir como
transforma qualquer vetor
em
. Para isso, vamos expressar
em termos de
e
, usando a propriedade da linearidade:
Passo 4
Agora, precisamos descobrir quais são
e
. Sabemos que:
Vamos escrever essas equações em termos de
e
:
Passo 5
Agora temos um sistema de equações para resolver:
Vamos somar as duas equações para eliminar
:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Passo 6
Com
e
determinados, podemos escrever a transformação linear completa:
Resposta
A transformação linear
é dada por: