Considere as seguintes bases de R^3 :
alpha=(10,3),(-1,-1) e beta=(1,3),(2,1)
Determine [I]beta^alpha e [I]alpha^beta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as matrizes de mudança de base, [I]beta^alpha e [I]alpha^beta, entre duas bases de R^2, que são alpha = (1,0), (0,1) e beta = (1,3), (2,1). Vamos precisar usar conceitos de mudança de base e matrizes inversas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos montar as matrizes das bases alpha e beta. A matriz A será formada pelos vetores da base alpha como colunas, e a matriz B será formada pelos vetores da base beta como colunas.
A = 1 & 0 0 & 1 , B = 1 & 2 3 & 1

Passo 3

Agora, para encontrar [I]beta^alpha, precisamos calcular a matriz que transforma coordenadas na base beta para coordenadas na base alpha. Isso é feito multiplicando a matriz A^-1 pela matriz B.
Primeiro, vamos calcular a inversa de A. Como A é a matriz identidade, sua inversa também é:
A^-1 = 1 & 0 0 & 1

Passo 4

Em seguida, multiplicamos A^-1 por B para encontrar [I]beta^alpha:
[I]beta^alpha = A^-1 B = 1 & 0 0 & 1 1 & 2 3 & 1 = 1 & 2 3 & 1

Passo 5

Para encontrar [I]alpha^beta, fazemos o inverso: multiplicamos B^-1 por A. Primeiro, vamos calcular a inversa de B.
A inversa de B é dada por:
B^-1 = 1(1)(1) - (2)(3) 1 & -2 -3 & 1 = 1-5 1 & -2 -3 & 1 = -0.2 & 0.4 0.6 & -0.2
Agora, multiplicamos B^-1 por A:
[I]alpha^beta = B^-1 A = -0.2 & 0.4 0.6 & -0.2 1 & 0 0 & 1 = -0.2 & 0.4 0.6 & -0.2

Resposta

As matrizes de mudança de base são:
[I]beta^alpha = 1 & 2 3 & 1 , [I]alpha^beta = -0.2 & 0.4 0.6 & -0.2

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