Determine a representação matricial de cada uma dos seguintes operadores do R^2 em relação às bases indicadas:
a) F(x, y)=(2 x, 3 y-x) e bases canônicas;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear definido por . Queremos encontrar a representação matricial desse operador em relação às bases canônicas do . Para isso, vamos precisar conhecer como representar transformações lineares usando matrizes e como aplicar isso às bases canônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base canônica para é formada pelos vetores e . Para encontrar a matriz que representa o operador , precisamos ver o que faz com cada um desses vetores da base.

Passo 3

Vamos aplicar o operador F(e1) = F(1, 0) = (2 cdot 1, 3 cdot 0 - 1) = (2, -1) ao primeiro vetor da base canônica:
Esse resultado nos dá a primeira coluna da matriz representativa de .

Passo 4

Agora, aplicamos o operador F(e2) = F(0, 1) = (2 cdot 0, 3 cdot 1 - 0) = (0, 3) ao segundo vetor da base canônica:
Esse resultado será a segunda coluna da matriz representativa de .

Passo 5

Com as imagens dos vetores da base canônica, podemos construir a matriz representativa de . Cada coluna da matriz corresponde à imagem de um vetor da base canônica sob o operador .

Resposta

A representação matricial do operador 2 & 0 -1 & 3 em relação às bases canônicas é:

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