Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos a matriz de mudança de base de duas bases específicas de . A base é composta pelos vetores , , e , e a base é formada pelos vetores , , e . Vamos precisar entender como converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra, usando matrizes de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Quando temos duas bases diferentes e para o mesmo espaço vetorial, a matriz de mudança de base nos permite converter as coordenadas de um vetor na base para coordenadas na base . Basicamente, essa matriz “translada” a representação do vetor de uma base para a outra.
Passo 3
Para encontrar a matriz , precisamos expressar cada vetor da base como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, para cada vetor em , queremos encontrar coeficientes tais que:
Esses coeficientes formarão as colunas da matriz .
Passo 4
Vamos começar expressando o primeiro vetor de , que é , como combinação linear dos vetores de :
Isso resulta em um sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de 10 & 3 & 1 & 4 & | & 3 1 & 2 & 4 & 3 & | & 1 -1 & -1 & 8 & 3 & | & 1 3 & -1 & 1 & 4 & | & 0 . Podemos usar métodos como substituição, eliminação ou matrizes aumentadas. Para simplificar, vamos formar a matriz ampliada e aplicar operações de linha:
Após aplicar as operações necessárias, encontramos os valores , , , e .
Passo 6
Repetimos o mesmo processo para os demais vetores de :