Considere as seguintes bases de R^4 :
alpha=(10,1,-1,3),(3,2,-1,-1),(1,4,8,1),(4,3,3,4)
e
beta=(3,1,1,0),(2,1,1,2),(-1,0,0,-1),(0,1,0,1)
Determine [I]beta^alpha

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos a matriz de mudança de base de duas bases específicas de . A base é composta pelos vetores , , e , e a base é formada pelos vetores , , e . Vamos precisar entender como converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra, usando matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Quando temos duas bases diferentes e para o mesmo espaço vetorial, a matriz de mudança de base nos permite converter as coordenadas de um vetor na base para coordenadas na base . Basicamente, essa matriz “translada” a representação do vetor de uma base para a outra.

Passo 3

Para encontrar a matriz v = c1 alpha1 + c2 alpha2 + c3 alpha3 + c4 alpha4 , precisamos expressar cada vetor da base como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, para cada vetor em , queremos encontrar coeficientes tais que:
Esses coeficientes formarão as colunas da matriz .

Passo 4

Vamos começar expressando o primeiro vetor de (3,1,1,0) = c1 (10,1,-1,3) + c2 (3,2,-1,-1) + c3 (1,4,8,1) + c4 (4,3,3,4) , que é 10c1 + 3c2 + c3 + 4c4 = 3 1c1 + 2c2 + 4c3 + 3c4 = 1 -1c1 -1c2 + 8c3 + 3c4 = 1 3c1 -1c2 + 1c3 + 4c4 = 0 , como combinação linear dos vetores de :
Isso resulta em um sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de 10 & 3 & 1 & 4 & | & 3 1 & 2 & 4 & 3 & | & 1 -1 & -1 & 8 & 3 & | & 1 3 & -1 & 1 & 4 & | & 0 . Podemos usar métodos como substituição, eliminação ou matrizes aumentadas. Para simplificar, vamos formar a matriz ampliada e aplicar operações de linha:
Após aplicar as operações necessárias, encontramos os valores , , , e .

Passo 6

Repetimos o mesmo processo para os demais vetores de :
  1. Para :
    • Resolvendo o sistema, obtemos , , , .
  2. Para :
    • Resolvendo o sistema, obtemos , , , .
  3. Para :
    • Resolvendo o sistema, obtemos , , , .

Passo 7

Agora, colocando os coeficientes encontrados como colunas na matriz [I]beta^alpha = 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 -1 & 0 & 1 & -1 , temos:

Resposta

A matriz de mudança de base é:
[I]beta^alpha = 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 -1 & 0 & 1 & -1

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