Encontre a transformação T, do plano, que é uma reflexão em torno da reta x=y. (Sugestão: Aplique essa transformação a uma base do R^2 )

Passo 1

Vamos resolver um exercício de transformações lineares, especificamente uma reflexão no plano em relação à reta . Para isso, vamos precisar aplicar essa transformação aos vetores da base do , ou seja, aos vetores e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa refletir um ponto em relação à reta . Refletir um ponto sobre uma reta envolve encontrar uma imagem desse ponto que está igualmente distante da reta, mas do lado oposto.

Passo 3

Vamos aplicar a transformação de reflexão ao primeiro vetor da base, que é T(e1) = (0, 1) . Para refletir esse vetor em relação à reta , trocamos as coordenadas:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a transformação ao segundo vetor da base, que é T(e2) = (1, 0) . Refletindo em relação à reta , também trocamos as coordenadas:

Passo 5

Com as imagens dos vetores da base, podemos montar a matriz da transformação linear T = 0 & 1 1 & 0 . As colunas dessa matriz são exatamente as imagens de e :

Resposta

A transformação T = 0 & 1 1 & 0 que reflete qualquer ponto do plano em relação à reta é dada pela matriz:

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