Determine a esfera cujo centro pertence à reta e é tangente aos planos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a esfera cujo centro está em uma reta definida por duas equações e que é tangente a dois planos. Vamos usar geometria analítica para isso. Precisaremos encontrar a coordenada do centro da esfera e o raio que satisfazem essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a direção da reta onde o centro da esfera está localizado. A reta é definida pelo sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema para encontrar uma relação entre e , e assim determinar um parâmetro para a reta.
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações. Podemos somar as duas equações para eliminar :
Agora, expressamos em termos de :
Passo 4
Vamos atribuir um parâmetro para . Assim, podemos expressar e em termos de :
Para encontrar , substituímos e em uma das equações originais. Vamos usar a primeira:
Então, a parametrização da reta é:
Passo 5
Agora, sabemos que o centro da esfera está nessa reta. Vamos denotar as coordenadas do centro como:
Sabemos também que a esfera é tangente aos planos:
Como os planos são paralelos, a distância do centro da esfera a cada plano será igual ao raio da esfera.
Passo 6
A distância de um ponto a um plano é dada por:
Vamos aplicar isso para e com o centro .
Passo 7
Calculando a distância de a :
Calculando a distância de a :
Passo 8
Como a esfera é tangente a ambos os planos, as distâncias R = |1 - t|2 = |5 - t|2 e |1 - t| = |5 - t| devem ser iguais ao raio :
Igualando as duas expressões:
Passo 9
Para resolver a equação , consideramos dois casos:
⟹ (Não tem solução)
⟹ ⟹ ⟹
Então, .
Passo 10
Com x = 7 - 3(3)2 = 7 - 92 = -22 = -1 y = 3 z = 3 , encontramos as coordenadas do centro :
Então, .
Passo 11
Agora, vamos encontrar o raio R = |1 - t|2 = |1 - 3|2 = 22 = 1 . Usamos uma das expressões de distância:
Então, o raio da esfera é .
Resposta
A esfera procurada tem centro em (x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 3)^2 = 1 e raio . A equação da esfera é: