Determine a esfera cujo centro pertence à reta r2 x+4 y-z-7=0 4 x+5 y+z-14=0 e é tangente aos planos x+2 y-2 z-2=0 e x+2 y-2 z+4=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a esfera cujo centro está em uma reta definida por duas equações e que é tangente a dois planos. Vamos usar geometria analítica para isso. Precisaremos encontrar a coordenada do centro da esfera e o raio que satisfazem essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a direção da reta onde o centro da esfera está localizado. A reta é definida pelo sistema de equações:
2x + 4y - z -7 = 0 4x + 5y + z -14 = 0
Podemos resolver esse sistema para encontrar uma relação entre e , e assim determinar um parâmetro para a reta.

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações. Podemos somar as duas equações para eliminar (2x + 4y - z -7) + (4x + 5y + z -14) = 0 6x + 9y -21 = 0 2x + 3y = 7 :
2x = 7 - 3y x = 7 - 3y2
Agora, expressamos em termos de :

Passo 4

Vamos atribuir um parâmetro y = t x = 7 - 3t2 para 2(7 - 3t2) + 4t - z -7 = 0 (7 - 3t) + 4t - z -7 = 0 t - z = 0 z = t . Assim, podemos expressar (x, y, z) = ( 7 - 3t2, t, t ) e em termos de :
Para encontrar , substituímos e em uma das equações originais. Vamos usar a primeira:
Então, a parametrização da reta é:

Passo 5

Agora, sabemos que o centro da esfera C( 7 - 3t2, t, t ) está nessa reta. Vamos denotar as coordenadas do centro como:
P1: x + 2y - 2z - 2 = 0 P2: x + 2y - 2z + 4 = 0
Sabemos também que a esfera é tangente aos planos:
Como os planos são paralelos, a distância do centro da esfera a cada plano será igual ao raio da esfera.

Passo 6

A distância de um ponto d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 a um plano é dada por:
Vamos aplicar isso para e com o centro .

Passo 7

Calculando a distância de d1 = |1 cdot 7 - 3t2 + 2 cdot t - 2 cdot t - 2|raiz1^2 + 2^2 + (-2)^2 = | 7 - 3t2 + 0 - 2 |3 = | 7 - 3t - 42 |3 = | 3 - 3t2 |3 = 3|1 - t|6 = |1 - t|2 a d2 = |1 cdot 7 - 3t2 + 2 cdot t - 2 cdot t + 4|raiz1^2 + 2^2 + (-2)^2 = | 7 - 3t2 + 0 + 4 |3 = | 7 - 3t + 82 |3 = | 15 - 3t2 |3 = 3|5 - t|6 = |5 - t|2 :
Calculando a distância de a :

Passo 8

Como a esfera é tangente a ambos os planos, as distâncias R = |1 - t|2 = |5 - t|2 e |1 - t| = |5 - t| devem ser iguais ao raio :
Igualando as duas expressões:

Passo 9

Para resolver a equação , consideramos dois casos:
  1. (Não tem solução)
Então, .

Passo 10

Com x = 7 - 3(3)2 = 7 - 92 = -22 = -1 y = 3 z = 3 , encontramos as coordenadas do centro :
Então, .

Passo 11

Agora, vamos encontrar o raio R = |1 - t|2 = |1 - 3|2 = 22 = 1 . Usamos uma das expressões de distância:
Então, o raio da esfera é .

Resposta

A esfera procurada tem centro em (x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 3)^2 = 1 e raio . A equação da esfera é:

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