Considere as seguintes bases de R^3 :
alpha=(10,10,3),(3,-1,-1),(4,8,1) e beta=(1,1,0),(2,1,1),(-1,0,1)
Encontre as coordenadas do vetor z=(3,4,2) nas bases alpha e beta.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases de , chamadas e , cada uma composta por três vetores. O exercício quer que a gente encontre as coordenadas do vetor nessas duas bases.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de mudança de base e sistemas lineares. Basicamente, queremos expressar o vetor como combinação linear dos vetores de cada base. Isso significa encontrar os coeficientes que multiplicam cada vetor da base para formar o vetor .

Passo 2

Vamos começar com a base z = c1 cdot (10, 10, 3) + c2 cdot (3, -1, -1) + c3 cdot (4, 8, 1) . Queremos encontrar números (3, 4, 2) = c1 cdot (10, 10, 3) + c2 cdot (3, -1, -1) + c3 cdot (4, 8, 1) , 10c1 + 3c2 + 4c3 = 3 10c1 - c2 + 8c3 = 4 3c1 - c2 + c3 = 2 e tais que:
Ou, em termos de coordenadas:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar 10c1 + 3c2 + 4c3 - 3(3c1 - c2 + c3) = 3 - 3(2) , 10c1 + 3c2 + 4c3 - 9c1 + 3c2 - 3c3 = 3 - 6 e c1 + 6c2 + c3 = -3 (Equação 4) . Podemos usar o método da eliminação de Gauss ou substituição. Vou optar pela eliminação para simplificar.
Primeiro, subtraímos a terceira equação da primeira e da segunda para eliminar 10c1 - c2 + 8c3 - 3(3c1 - c2 + c3) = 4 - 3(2) :
Da equação 1 menos 3 vezes a equação 3:
10c1 - c2 + 8c3 - 9c1 + 3c2 - 3c3 = 4 - 6
c1 + 2c2 + 5c3 = -2 (Equação 5)
çã
Da equação 2 menos 3 vezes a equação 3:
çã

Passo 4

Agora temos duas novas equações:
c1 + 6c2 + c3 = -3 (Equação 4) c1 + 2c2 + 5c3 = -2 (Equação 5) çãçã
Vamos subtrair a Equação 4 da Equação 5 para eliminar (c1 + 2c2 + 5c3) - (c1 + 6c2 + c3) = -2 - (-3) :
-4c2 + 4c3 = 1
-4c2 + 4c3 = 1 Rightarrow -c2 + c3 = 14 (Equação 6)
çã

Passo 5

Agora, vamos resolver a Equação 6 para uma das variáveis, por exemplo, -c2 + c3 = 14 Rightarrow c2 = c3 - 14 :
c1 + 6(c3 - 14) + c3 = -3
Agora, substituímos c1 + 6c3 - 64 + c3 = -3 na Equação 4 para encontrar c1 + 7c3 - 32 = -3 :
c1 + 7c3 = -32 Rightarrow c1 = -7c3 - 32

Passo 6

Agora, vamos substituir 3c1 - c2 + c3 = 2 e 3(-7c3 - 32) - (c3 - 14) + c3 = 2 na Equação 3 para encontrar -21c3 - 92 - c3 + 14 + c3 = 2 :
-21c3 - c3 + c3 - 92 + 14 = 2
-21c3 - 92 + 14 = 2
-21c3 - 174 = 2
-21c3 = 2 + 174
-21c3 = 254 Rightarrow c3 = -2584

Passo 7

Agora que temos c2 = c3 - 14 = -2584 - 2184 = -4684 = -2342 , podemos encontrar c1 = -7c3 - 32 = -7(-2584) - 32 = 17584 - 12684 = 4984 = 712 e :

Resposta

As coordenadas do vetor ( 712, -2342, -2584 ) na base são:

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