Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases de , chamadas e , cada uma composta por três vetores. O exercício quer que a gente encontre as coordenadas do vetor nessas duas bases.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de mudança de base e sistemas lineares. Basicamente, queremos expressar o vetor como combinação linear dos vetores de cada base. Isso significa encontrar os coeficientes que multiplicam cada vetor da base para formar o vetor .
Passo 2
Vamos começar com a base . Queremos encontrar números , e tais que:
Ou, em termos de coordenadas:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar 10c1 + 3c2 + 4c3 - 3(3c1 - c2 + c3) = 3 - 3(2) , 10c1 + 3c2 + 4c3 - 9c1 + 3c2 - 3c3 = 3 - 6 e c1 + 6c2 + c3 = -3 (Equação 4) . Podemos usar o método da eliminação de Gauss ou substituição. Vou optar pela eliminação para simplificar.
Primeiro, subtraímos a terceira equação da primeira e da segunda para eliminar 10c1 - c2 + 8c3 - 3(3c1 - c2 + c3) = 4 - 3(2) :