Determinar se a transformações seguintes são diagonalizáveis. Se for diagonalizável, determinar uma base na qual a matriz da tem forma diagonal e achar esta matriz. ;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é descobrir se essa transformação é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar uma base onde a matriz de seja diagonal e, claro, determinar qual é essa matriz diagonal.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Para isso, aplicamos aos vetores da base canônica , e .
Assim, a matriz de na base canônica é:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a matriz A - lambda I = 1 - lambda & 0 & 0 1 & 1 - lambda & 0 1 & 1 & 1 - lambda é diagonalizável. Para isso, precisamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot [(1 - lambda)(1 - lambda) - 0 cdot 1] - 0 + 0 = (1 - lambda)^3 . Os autovalores são os valores de (1 - lambda)^3 = 0 que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.
Primeiro, montamos :
Agora, calculamos o determinante:
Então, a equação característica é:
Isso nos dá um único autovalor com multiplicidade 3.
Passo 4
Para a matriz ser diagonalizável, a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores deve ser igual à dimensão do espaço, que aqui é 3. Precisamos, então, encontrar os autovetores correspondentes a 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0 .
Da segunda equação, . Da terceira, então . é livre, ou seja, pode ser qualquer número real. Portanto, o espaço dos autovetores é gerado por , e a multiplicidade geométrica é 1.
Passo 5
Como a multiplicidade geométrica do autovalor é 1, que é menor que sua multiplicidade algébrica (3), a matriz não é diagonalizável. Isso significa que não conseguimos encontrar uma base composta unicamente por autovetores onde seria diagonal.