Determinar se a transformações seguintes são diagonalizáveis. Se for diagonalizável, determinar uma base na qual a matriz da T tem forma diagonal e achar esta matriz. T(x, y, z)=(z, z, z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a transformação é diagonalizável. Se for, a gente também precisa encontrar uma base onde a matriz de seja diagonal e, por fim, achar essa própria matriz diagonal. O conteúdo aqui envolve transformações lineares, autovalores e autovetores, e diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os autovalores e autovetores da transformação , e então verificar se temos uma quantidade suficiente de autovetores para formar uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a transformação A = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 como uma matriz. A transformação dada é , então podemos escrever a matriz de em relação à base canônica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, resolvemos a equação característica:
A - lambda I = -lambda & 0 & 1 0 & -lambda & 1 0 & 0 & 1 - lambda
Calculando:
det(A - lambda I) = (-lambda) cdot (-lambda) cdot (1 - lambda) = lambda^2 (1 - lambda)
O determinante é:
lambda^2 (1 - lambda) = 0 implies lambda = 0 ou lambda = 1
Igualando a zero:
Então, os autovalores são e .

Passo 4

Vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos v3 = 0 , ou seja, v1 = 1 0 0, v2 = 0 1 0 .

[
A - I = -1 & 0 & 1 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0
- v1 + v3 = 0 - v2 + v3 = 0 0 = 0

v3 = 1 1 1
]
Isso dá:
Os demais componentes são livres, então os autovetores para são da forma . Podemos escolher duas bases:
Para :
Resolvemos .
As equações são:
Daí, e . Então, podemos expressar os autovetores como . Escolhemos:

Passo 5

Agora, verificamos se temos autovetores suficientes para formar uma base. Temos três autovetores linearmente independentes: , e . Isso significa que a matriz é diagonalizável, pois podemos formar uma base com esses autovetores.

Resposta

Sim, a transformação 1 0 0, 0 1 0, 1 1 1 é diagonalizável. Uma base onde a matriz de 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 é diagonal é dada por:
Nessa base, a matriz de é:

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