Determinar se a transformações seguintes são diagonalizáveis. Se for diagonalizável, determinar uma base na qual a matriz da tem forma diagonal e achar esta matriz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a transformação é diagonalizável. Se for, a gente também precisa encontrar uma base onde a matriz de seja diagonal e, por fim, achar essa própria matriz diagonal. O conteúdo aqui envolve transformações lineares, autovalores e autovetores, e diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os autovalores e autovetores da transformação , e então verificar se temos uma quantidade suficiente de autovetores para formar uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a transformação como uma matriz. A transformação dada é , então podemos escrever a matriz de em relação à base canônica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, resolvemos a equação característica:
Os demais componentes são livres, então os autovetores para são da forma . Podemos escolher duas bases:
Para :
Resolvemos .
As equações são:
Daí, e . Então, podemos expressar os autovetores como . Escolhemos:
Passo 5
Agora, verificamos se temos autovetores suficientes para formar uma base. Temos três autovetores linearmente independentes: , e . Isso significa que a matriz é diagonalizável, pois podemos formar uma base com esses autovetores.
Resposta
Sim, a transformação 1 0 0, 0 1 0, 1 1 1 é diagonalizável. Uma base onde a matriz de 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 é diagonal é dada por: