Dadas as superfícies S e os planos Pi abaixo, encontre: um esboço gráfico das projeção do item b. S: 2 x^2+4 y^2+2 z^2=16 ; Pi: z=2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para fazer um esboço gráfico da projeção da superfície no plano . A gente vai trabalhar com equações de superfícies e projeções, então vamos precisar entender um pouquinho de geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações que temos:
  • A superfície é dada por .
  • O plano é definido por .

Passo 3

Para encontrar a projeção de no plano , a gente vai “colar” a superfície nesse plano. Isso significa que vamos substituir o valor de na equação de pelo valor fixo que está no plano .

Passo 4

Substituindo 2x^2 + 4y^2 + 2(2)^2 = 16 na equação de 2x^2 + 4y^2 + 8 = 16 :

Passo 5

Agora, vamos simplificar a equação para deixar ela mais clara:
2x^2 + 4y^2 = 16 - 8
2x^2 + 4y^2 = 8

Passo 6

Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar ainda mais:
x^2 + 2y^2 = 4
Essa é a equação da projeção da superfície no plano .

Resposta

A projeção da superfície no plano é uma elipse dada pela equação .

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