Dadas as superfícies S e os planos Pi abaixo, encontre: a projeção de S cap Pi no plano x circ y; S: 2 x^2+4 y^2+2 z^2=16 ; Pi: z=2;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma superfície dada pela equação e um plano definido por . O objetivo é encontrar a projeção da interseção dessas duas figuras no plano (ou seja, no plano horizontal).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a interseção entre a superfície 2x^2 + 4y^2 + 2(2)^2 = 16 e o plano . Para isso, substituímos na equação de :

Passo 3

Calculando 2 times 4 = 8 :
2x^2 + 4y^2 + 8 = 16
Então nossa equação fica:

Passo 4

Agora, vamos isolar os termos com 2x^2 + 4y^2 = 16 - 8 e 2x^2 + 4y^2 = 8 :

Passo 5

Para simplificar, vamos dividir todos os termos por 2:
x^2 + 2y^2 = 4

Passo 6

Essa é a equação da interseção . Agora, vamos projetar essa curva no plano . Como já estamos trabalhando no plano horizontal, a projeção é a própria curva .

Resposta

A projeção de no plano é a elipse dada por .

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