Considere as seguintes bases do V=R^2, V=R^3 e do V=R^4 dadas nos itens abaixo. Ortonormalize essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
B=(1,-3),(2,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma base para o espaço vetorial . O objetivo é transformar essa base em uma base ortonormal usando o processo de Gram-Schmidt. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre produtos internos e como o processo de Gram-Schmidt funciona para criar vetores que são mutuamente perpendiculares (ortogonais) e têm comprimento 1 (normalizados).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto interno no espaço lang<= u, v rang<= = u1v1 + u2v2 . É basicamente uma maneira de multiplicar dois vetores que nos dá um número, e no caso padrão, é definido como:
Isso vai nos ajudar a calcular a ortogonalidade entre os vetores.

Passo 3

Agora, vamos começar o processo de Gram-Schmidt. O objetivo é transformar a base v1 = (1, -3) em uma base ortonormal | v1 | = raiz1^2 + (-3)^2 = raiz1 + 9 = raiz10 .
Primeiro, pegamos o primeiro vetor da base original e normalizamos ele para obter u1 = v1| v1 | = ( 1raiz10, -3raiz10 ) :
A norma de é:
Então, o primeiro vetor ortonormal é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o segundo vetor ortonormal v2 = (2, 2) . Primeiro, precisamos tornar o segundo vetor da base original ortogonal a proju1 v2 = lang<= v2, u1 rang<= u1 :
lang<= v2, u1 rang<= = 2 cdot 1raiz10 + 2 cdot -3raiz10 = 2 - 6raiz10 = -4raiz10
Calculamos a projeção de proju1 v2 = -4raiz10 cdot ( 1raiz10, -3raiz10 ) = ( -410, 1210 ) = ( -0.4, 1.2 ) em :
Calculando o produto interno:
Então,

Passo 5

Subtraímos essa projeção de w2 = v2 - proju1 v2 = (2, 2) - (-0.4, 1.2) = (2 + 0.4, 2 - 1.2) = (2.4, 0.8) para tornar o vetor resultante ortogonal a | w2 | = raiz2.4^2 + 0.8^2 = raiz5.76 + 0.64 = raiz6.4 = 2.5298 approx 2.53 :
u2 = w2| w2 | = ( 2.42.53, 0.82.53 ) approx (0.949, 0.316)
Agora, normalizamos para obter :
Então,

Resposta

A base ortonormal resultante pelo processo de Gram-Schmidt é:
( 1raiz10, -3raiz10 ), ( 0.949, 0.316 )

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