Considere as seguintes bases do
e do
dadas nos itens abaixo. Ortonormalize essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma base
para o espaço vetorial
. O objetivo é transformar essa base em uma base ortonormal usando o processo de Gram-Schmidt. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre produtos internos e como o processo de Gram-Schmidt funciona para criar vetores que são mutuamente perpendiculares (ortogonais) e têm comprimento 1 (normalizados).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto interno no espaço
. É basicamente uma maneira de multiplicar dois vetores que nos dá um número, e no caso padrão, é definido como:
Isso vai nos ajudar a calcular a ortogonalidade entre os vetores.
Passo 3
Agora, vamos começar o processo de Gram-Schmidt. O objetivo é transformar a base
em uma base ortonormal
.
Primeiro, pegamos o primeiro vetor da base original e normalizamos ele para obter
:
A norma de
é:
Então, o primeiro vetor ortonormal é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o segundo vetor ortonormal
. Primeiro, precisamos tornar o segundo vetor da base original ortogonal a
:
Calculamos a projeção de
em
:
Calculando o produto interno:
Então,
Passo 5
Subtraímos essa projeção de
para tornar o vetor resultante ortogonal a
:
Agora, normalizamos
para obter
:
Então,
Resposta
A base ortonormal resultante pelo processo de Gram-Schmidt é:
Exercícios relacionados
Seja
um produto interno em
(isto é, o espaço vetorial dos polinômios de grau 2), onde
e
. Dados os vetores
,
, calcular o produto interno
Considere
e
tais que a matriz
seja antissimétrica. Então o valor de
é:
a. 1
b. -2
c. 2
○ d. -1
○. 0
a. 1
b. -2
c. 2
○ d. -1
○. 0
Considere as seguintes bases do
e do
dadas nos itens abaixo. Ortonormalize essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Considere as seguintes bases do
e do
dadas nos itens abaixo. Ortonormalize essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.