Considere as seguintes bases do e do dadas nos itens abaixo. Ortonormalize essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma base para o espaço vetorial . O objetivo é transformar essa base em uma base ortonormal usando o processo de Gram-Schmidt. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre produtos internos e como o processo de Gram-Schmidt funciona para criar vetores que são mutuamente perpendiculares (ortogonais) e têm comprimento 1 (normalizados).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto interno no espaço . É basicamente uma maneira de multiplicar dois vetores que nos dá um número, e no caso padrão, é definido como:
Isso vai nos ajudar a calcular a ortogonalidade entre os vetores.

Passo 3

Agora, vamos começar o processo de Gram-Schmidt. O objetivo é transformar a base em uma base ortonormal .
Primeiro, pegamos o primeiro vetor da base original e normalizamos ele para obter :
A norma de é:
Então, o primeiro vetor ortonormal é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o segundo vetor ortonormal . Primeiro, precisamos tornar o segundo vetor da base original ortogonal a :
Calculamos a projeção de em :
Calculando o produto interno:
Então,

Passo 5

Subtraímos essa projeção de para tornar o vetor resultante ortogonal a :
Agora, normalizamos para obter :
Então,

Resposta

A base ortonormal resultante pelo processo de Gram-Schmidt é:

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Seja um produto interno em (isto é, o espaço vetorial dos polinômios de grau 2), onde e . Dados os vetores , , calcular o produto interno
Considere e tais que a matriz seja antissimétrica. Então o valor de é:
a. 1
b. -2
c. 2
○ d. -1
○. 0
Considere as seguintes bases do e do dadas nos itens abaixo. Ortonormalize essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Considere as seguintes bases do e do dadas nos itens abaixo. Ortonormalize essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.