A matriz da transformação linear T na base canônica é dada por
[ccc 15 & -11 & 5 20 & -15 & 8 8 & -7 & 6 ]
Calcula a matriz de essa transformação linear na base 2 e1+3 e2+e3, 3 e1+4 e2+e3, e1+2 e2+2 e3, onde e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e=(0,0,1)

Passo 1

Vamos lá! Você tem uma transformação linear 15 & -11 & 5 20 & -15 & 8 8 & -7 & 6 representada pela matriz na base canônica:
2 e1+3 e2+e3, 3 e1+4 e2+e3, e1+2 e2+2 e3
E quer encontrar a matriz dessa transformação em uma nova base formada por três vetores:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre mudança de base e como calcular a matriz de uma transformação linear em uma nova base. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a nova base B = v1 = 2 e1+3 e2+e3, v2 = 3 e1+4 e2+e3, v3 = e1+2 e2+2 e3 com os vetores dados:
Esses vetores são combinacoes lineares dos vetores da base canônica .

Passo 3

Vamos montar a matriz de mudança de base P = 2 & 3 & 1 3 & 4 & 2 1 & 1 & 2 , cujas colunas são os vetores da nova base expressos na base canônica:
Essa matriz vai nos ajudar a converter coordenadas da base canônica para a nova base .

Passo 4

Precisamos encontrar a inversa de det(P) = 2 cdot (4 cdot 2 - 2 cdot 1) - 3 cdot (3 cdot 2 - 2 cdot 1) + 1 cdot (3 cdot 1 - 4 cdot 1) = 2(8 - 2) - 3(6 - 2) + 1(3 - 4) = 2 cdot 6 - 3 cdot 4 + 1 cdot (-1) = 12 - 12 -1 = -1 , chamada P^-1 = 1det(P) cdot adj(P) . Vamos calcular P^-1 = 2 & -3 & 1 -1 & 2 & -1 -1 & 1 & 0 :
Primeiro, calculamos o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero, é invertível. Agora, vamos calcular a matriz adjunta e dividir pelo determinante:
Após os cálculos, encontramos:

Passo 5

Agora, temos a matriz da transformação linear A = 15 & -11 & 5 20 & -15 & 8 8 & -7 & 6 na base canônica, que chamaremos de A' = P^-1 A P :
Para encontrar a matriz de na nova base , usamos a fórmula de mudança de base:
Isso significa que multiplicamos pela matriz e depois pelo .

Passo 6

Vamos realizar as multiplicações:
Primeiro, calculamos P^-1 A = 2 & -3 & 1 -1 & 2 & -1 -1 & 1 & 0 15 & -11 & 5 20 & -15 & 8 8 & -7 & 6 = (2 cdot 15) + (-3 cdot 20) + (1 cdot 8) & cdots & cdots vdots & vdots & vdots vdots & vdots & vdots :
P^-1 A = -2 & 4 & -4 -3 & 6 & -6 -7 & 12 & -12
Após calcular todas as multiplicações, obtemos:
A' = -2 & 4 & -4 -3 & 6 & -6 -7 & 12 & -12 2 & 3 & 1 3 & 4 & 2 1 & 1 & 2 = cdots & cdots & cdots cdots & cdots & cdots cdots & cdots & cdots
Agora, multiplicamos esse resultado por A' = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 :
Calculando todas as entradas, chegamos a:

Resposta

A matriz da transformação linear A' = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 na nova base é a matriz nula:

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