A matriz da transformação linear T na base canônica é dada por
Calcula a matriz de essa transformação linear na base , onde ,
Passo 1
Vamos lá! Você tem uma transformação linear representada pela matriz na base canônica:
E quer encontrar a matriz dessa transformação em uma nova base formada por três vetores:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre mudança de base e como calcular a matriz de uma transformação linear em uma nova base. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a nova base com os vetores dados:
Esses vetores são combinacoes lineares dos vetores da base canônica .
Passo 3
Vamos montar a matriz de mudança de base, cujas colunas são os vetores da nova base expressos na base canônica:
Essa matriz vai nos ajudar a converter coordenadas da base canônica para a nova base .
Passo 4
Precisamos encontrar a inversa de , chamada . Vamos calcular :
Primeiro, calculamos o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero, é invertível. Agora, vamos calcular a matriz adjunta e dividir pelo determinante:
Após os cálculos, encontramos:
Passo 5
Agora, temos a matriz da transformação linear na base canônica, que chamaremos de :
Para encontrar a matriz de na nova base , usamos a fórmula de mudança de base:
Isso significa que multiplicamos pela matriz e depois pelo .
Passo 6
Vamos realizar as multiplicações:
Primeiro, calculamos :
Após calcular todas as multiplicações, obtemos:
Agora, multiplicamos esse resultado por :
Calculando todas as entradas, chegamos a:
Resposta
A matriz da transformação linear na nova base é a matriz nula: