Sejam as transformaçõeslineares S: P1 longrightarrow P2 e T: P2 longrightarrow P1 definidaspor S(a+b x)=a+(a+b) x+2 b x^2 e T(a+b x+c x^2)=b+2 c x. Calcule (S circ T)(3+2 x-x^2) e(S circ T)(a+b x+c x^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas transformações lineares, a S(a + b x) = a + (a + b) x + 2 b x^2 e a T(a + b x + c x^2) = b + 2 c x . A transformação vai de para e é definida por:
Já a transformação vai de para e é definida por:
Nosso objetivo é calcular a composição dessas transformações, ou seja, e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a composição . Isso significa que a gente vai primeiro aplicar a transformação e depois aplicar a transformação no resultado.

Passo 3

Vamos começar calculando T(3 + 2 x - x^2) = coeficiente de x mu. Primeiro, aplicamos T(3 + 2 x - x^2) = 2 + 2 times (-1) x = 2 - 2 x em .
Aplicando em :
Aqui, o coeficiente de é 2 e o de é -1. Então:

Passo 4

Agora, aplicamos S(2 - 2 x) = 2 + (2 + (-2)) x + 2 times (-2) x^2 no resultado que obtivemos, ou seja, em S(2 - 2 x) = 2 + 0 x - 4 x^2 = 2 - 4 x^2 .
Aplicando em :
Vamos calcular cada termo:
  • O termo constante:
  • O coeficiente de : , então
  • O coeficiente de : , então
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular T(a + b x + c x^2) = b + 2 c x . Primeiro, aplicamos T(a + b x + c x^2) = b + 2 c x em .
Aplicando em :
Aqui, o coeficiente de é e o de é . Então:

Passo 6

Agora, aplicamos S(b + 2 c x) = b + (b + 2 c) x + 2 times (2 c) x^2 no resultado que obtivemos, ou seja, em S(b + 2 c x) = b + (b + 2 c) x + 4 c x^2 .
Aplicando em :
Vamos calcular cada termo:
  • O termo constante:
  • O coeficiente de : , então
  • O coeficiente de : , então
Então:

Resposta

(S circ T)(3 + 2 x - x^2) = 2 - 4 x^2
(S circ T)(a + b x + c x^2) = b + (b + 2 c) x + 4 c x^2

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