Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de
? Explique por quê em cada caso. Caso o conjunto seja espaço vetorial, determine a dimensão deste espaço.
a) (1 ponto)
;
a) (1 ponto)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores em
definido por
. A pergunta é para verificar se esse conjunto
é um subespaço vetorial de
. Se for, também vamos descobrir qual é a dimensão desse espaço. Para isso, vamos usar as propriedades que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as condições para um conjunto ser um subespaço vetorial:
- Contém o vetor zero: O vetor (0, 0, 0, 0) deve estar em
. - Fechado sob adição: Se dois vetores estão em
, a soma deles também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em
, qualquer múltiplo dele também deve estar em .
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: se o vetor zero está em
. Substituindo
,
e
na equação
, temos:
Isso mostra que o vetor zero não está em
.
Passo 4
Como o vetor zero não está em
, já podemos concluir que
não é um subespaço vetorial de
. Não precisamos verificar as outras condições, já que só uma falha já impede que o conjunto seja um subespaço.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço de
porque não contém o vetor zero.
Exercícios relacionados
Seja
,
e
.
b) ( 0.5 pontos) descrever brevemente o método e as suposições que foram utilizadas na solução do problema.
b) ( 0.5 pontos) descrever brevemente o método e as suposições que foram utilizadas na solução do problema.
Seja
,
e
.
a) (1.5 pontos) determinar o subespaço gerado pelo conjunto , ou seja, se
, encontre as condições sobre
e
.
a) (1.5 pontos) determinar o subespaço gerado pelo conjunto
Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de
? Explique por quê em cada caso. Caso o conjunto seja espaço vetorial, determine a dimensão deste espaço.
b) (1 ponto) ;
b) (1 ponto)
Seja o sistema homogêneo:
b) ( 0.5 ponto) explicite o seu raciocínio na resolução do item anterior.