Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de R^4 ? Explique por quê em cada caso. Caso o conjunto seja espaço vetorial, determine a dimensão deste espaço.
a) (1 ponto) S=(x, y, z, w) mid x+y+z=-15;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores em R^4 definido por S=(x, y, z, w) mid x+y+z=-15. A pergunta é para verificar se esse conjunto S é um subespaço vetorial de R^4. Se for, também vamos descobrir qual é a dimensão desse espaço. Para isso, vamos usar as propriedades que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as condições para um conjunto ser um subespaço vetorial:
  1. Contém o vetor zero: O vetor (0, 0, 0, 0) deve estar em S.
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estão em S, a soma deles também deve estar em S.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em S, qualquer múltiplo dele também deve estar em S.

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: se o vetor zero está em S. Substituindo x = 0, y = 0 e z = 0 na equação x + y + z = -15, temos:
0 + 0 + 0 = 0 neq -15
Isso mostra que o vetor zero não está em S.

Passo 4

Como o vetor zero não está em S, já podemos concluir que S não é um subespaço vetorial de R^4. Não precisamos verificar as outras condições, já que só uma falha já impede que o conjunto seja um subespaço.

Resposta

O conjunto S não é um subespaço de R^4 porque não contém o vetor zero.

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