Seja o sistema homogêneo:
b) ( 0.5 ponto) explicite o seu raciocínio na resolução do item anterior.
Passo 1
Beleza! Então, o que a gente tem aqui é um sistema linear homogêneo com quatro variáveis:
,
,
e
. A matéria envolvida é álgebra linear, especificamente o estudo de sistemas de equações lineares. Para resolver isso, vamos precisar manipular as equações para encontrar relações entre as variáveis, possivelmente usando eliminação de Gauss ou matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema novamente para facilitar:
Passo 3
Observando as primeiras duas equações, percebemos que elas têm termos semelhantes. Para simplificar, podemos subtrair a segunda equação da primeira:
Passo 4
Agora, substituímos
x + 2y - 2z + 2(2z) = 0 Rightarrow x + 2y - 2z + 4z = 0 Rightarrow x + 2y + 2z = 0 Rightarrow x = -2y - 2z na segunda equação para simplificar ainda mais:
Passo 5
Com
2(-2y - 2z) + 4y - 2z + 3(2z) = 0 Rightarrow -4y -4z + 4y -2z +6z = 0 Rightarrow (-4y + 4y) + (-4z -2z +6z) = 0 Rightarrow 0y +0z = 0 Rightarrow 0 = 0 e
, substituímos esses valores na terceira equação do sistema:
Isso significa que a terceira equação não traz novas informações e confirma as relações já encontradas.
Passo 6
Com as relações
x = -2y -2z t = 2z e
, podemos expressar as soluções em termos das variáveis livres
e
:
Resposta
As soluções do sistema homogêneo são todas as combinações de
x = -2y -2z y = y z = z t = 2z e
( -2y -2z, y, z, 2z ) mid y, z in R que satisfazem:
Ou seja, o conjunto solução é dado por:
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Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de
R^4 ? Explique por quê em cada caso. Caso o conjunto seja espaço vetorial, determine a dimensão deste espaço.
b) (1 ponto)T=(x, y, z, w) mid x=3 z e w=x-5 y ;
b) (1 ponto)
Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de
R^4 ? Explique por quê em cada caso. Caso o conjunto seja espaço vetorial, determine a dimensão deste espaço.
a) (1 ponto)S=(x, y, z, w) mid x+y+z=-15 ;
a) (1 ponto)
(d) Seja
A uma matriz. Mostre que
(Lin(A))^perp=Nul(A) .
Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(e) SeA é invertível então
A é diagonalizável.
(e) Se