Seja o sistema homogêneo:
ll x+2 y-4 z+3 t & =0 x+2 y-2 z+2 t & =0 2 x+4 y-2 z+3 t & =0
b) ( 0.5 ponto) explicite o seu raciocínio na resolução do item anterior.

Passo 1

Beleza! Então, o que a gente tem aqui é um sistema linear homogêneo com quatro variáveis: , , e . A matéria envolvida é álgebra linear, especificamente o estudo de sistemas de equações lineares. Para resolver isso, vamos precisar manipular as equações para encontrar relações entre as variáveis, possivelmente usando eliminação de Gauss ou matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema novamente para facilitar:
x + 2y - 4z + 3t = 0 x + 2y - 2z + 2t = 0 2x + 4y - 2z + 3t = 0

Passo 3

Observando as primeiras duas equações, percebemos que elas têm termos semelhantes. Para simplificar, podemos subtrair a segunda equação da primeira:
(x + 2y - 4z + 3t) - (x + 2y - 2z + 2t) = 0 - 0 Rightarrow -2z + t = 0 Rightarrow t = 2z

Passo 4

Agora, substituímos x + 2y - 2z + 2(2z) = 0 Rightarrow x + 2y - 2z + 4z = 0 Rightarrow x + 2y + 2z = 0 Rightarrow x = -2y - 2z na segunda equação para simplificar ainda mais:

Passo 5

Com 2(-2y - 2z) + 4y - 2z + 3(2z) = 0 Rightarrow -4y -4z + 4y -2z +6z = 0 Rightarrow (-4y + 4y) + (-4z -2z +6z) = 0 Rightarrow 0y +0z = 0 Rightarrow 0 = 0 e , substituímos esses valores na terceira equação do sistema:
Isso significa que a terceira equação não traz novas informações e confirma as relações já encontradas.

Passo 6

Com as relações x = -2y -2z t = 2z e , podemos expressar as soluções em termos das variáveis livres e :

Resposta

As soluções do sistema homogêneo são todas as combinações de x = -2y -2z y = y z = z t = 2z e ( -2y -2z, y, z, 2z ) mid y, z in R que satisfazem:
Ou seja, o conjunto solução é dado por:

Exercícios relacionados

Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de R^4 ? Explique por quê em cada caso. Caso o conjunto seja espaço vetorial, determine a dimensão deste espaço.
b) (1 ponto) T=(x, y, z, w) mid x=3 z e w=x-5 y;
Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de R^4 ? Explique por quê em cada caso. Caso o conjunto seja espaço vetorial, determine a dimensão deste espaço.
a) (1 ponto) S=(x, y, z, w) mid x+y+z=-15;
(d) Seja A uma matriz. Mostre que (Lin(A))^perp=Nul(A).
Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(e) Se A é invertível então A é diagonalizável.