Seja , e .
a) (1.5 pontos) determinar o subespaço gerado pelo conjunto , ou seja, se , encontre as condições sobre e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial e um conjunto , onde e . O objetivo é determinar o subespaço gerado por , ou seja, encontrar as condições que os componentes , e de um vetor devem satisfazer para pertencer a esse subespaço. Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e sistemas de equações.
Passo 2
Vamos lembrar que o subespaço gerado por consiste em todos os vetores que podem ser formados como combinações lineares dos vetores e . Matemáticamente, isso significa que existe um escalar e um escalar tais que:
Substituindo os valores de e :
Passo 3
Vamos expandir essa expressão para obter um sistema de equações para , e :
Simplificando:
Passo 4
Agora, nosso objetivo é encontrar relações entre z = -a + b implies a = b - z , e que devem ser verdadeiras para que exista uma solução para e . Vamos resolver o sistema de equações para expressar e em termos de , e .
Primeiro, da terceira equação:
Passo 5
Substituindo y = -2(b - z) + b = -2b + 2z + b = -b + 2z na segunda equação:
-b + 2z = y implies b = 2z - y
Resolvendo para :
Passo 6
Agora que temos a = b - z = (2z - y) - z = z - y , substituímos esse valor na expressão de :
Passo 7
Finalmente, substituímos x = a + 2b = (z - y) + 2(2z - y) = z - y + 4z - 2y = 5z - 3y e na primeira equação para verificar a consistência:
Resposta
Portanto, para que x = 5z - 3y pertença ao subespaço gerado por 5z - 3y - x = 0 , deve satisfazer a condição:
Ou, de forma alternativa, pode-se escrever a relação entre , e como: