Seja V=R^3, A=v1, v2, v1=(1,-2,-1) e v2=(2,1,1).
a) (1.5 pontos) determinar o subespaço gerado pelo conjunto A, ou seja, se v= (x, y, z) in G(A), encontre as condições sobre x, y e z.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial e um conjunto , onde e . O objetivo é determinar o subespaço gerado por , ou seja, encontrar as condições que os componentes , e de um vetor devem satisfazer para pertencer a esse subespaço. Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e sistemas de equações.

Passo 2

Vamos lembrar que o subespaço gerado por v = av1 + bv2 consiste em todos os vetores que podem ser formados como combinações lineares dos vetores (x, y, z) = a(1, -2, -1) + b(2, 1, 1) e . Matemáticamente, isso significa que existe um escalar e um escalar tais que:
Substituindo os valores de e :

Passo 3

Vamos expandir essa expressão para obter um sistema de equações para x = a cdot 1 + b cdot 2 y = a cdot (-2) + b cdot 1 z = a cdot (-1) + b cdot 1 , x = a + 2b y = -2a + b z = -a + b e :
Simplificando:

Passo 4

Agora, nosso objetivo é encontrar relações entre z = -a + b implies a = b - z , e que devem ser verdadeiras para que exista uma solução para e . Vamos resolver o sistema de equações para expressar e em termos de , e .
Primeiro, da terceira equação:

Passo 5

Substituindo y = -2(b - z) + b = -2b + 2z + b = -b + 2z na segunda equação:
-b + 2z = y implies b = 2z - y
Resolvendo para :

Passo 6

Agora que temos a = b - z = (2z - y) - z = z - y , substituímos esse valor na expressão de :

Passo 7

Finalmente, substituímos x = a + 2b = (z - y) + 2(2z - y) = z - y + 4z - 2y = 5z - 3y e na primeira equação para verificar a consistência:

Resposta

Portanto, para que x = 5z - 3y pertença ao subespaço gerado por 5z - 3y - x = 0 , deve satisfazer a condição:
Ou, de forma alternativa, pode-se escrever a relação entre , e como:

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico das seguintes funções:
(d) l(x)=|x|x.
Encontre um vetor perpendicular ao vetor (-4,2).
Seja V=R^3, A=v1, v2, v1=(1,-2,-1) e v2=(2,1,1).
b) ( 0.5 pontos) descrever brevemente o método e as suposições que foram utilizadas na solução do problema.
Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de R^4 ? Explique por quê em cada caso. Caso o conjunto seja espaço vetorial, determine a dimensão deste espaço.
a) (1 ponto) S=(x, y, z, w) mid x+y+z=-15;