Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de ? Explique por quê em cada caso. Caso o conjunto seja espaço vetorial, determine a dimensão deste espaço.
b) (1 ponto) ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se o conjunto é um subespaço de . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer. Basicamente, para que seja um subespaço, ele precisa:
Contener o vetor zero.
Ser fechado para adição de vetores.
Ser fechado para multiplicação por escalar.
Além disso, se for um subespaço, vamos determinar a dimensão dele, que é basicamente o número de direções independentes que ele possui.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz as condições de :
: Aqui, , o que é verdade.
: Aqui, , também é verdade.
Então, o vetor zero está em .
Passo 3
Agora, vamos verificar se é fechado para a adição de vetores. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em .
Vamos supor que temos dois vetores e pertencentes a . Então:
Para : e
Para : e
Agora, somando e :
Vamos verificar as condições para :
→ satisfaz
→ satisfaz
Então, a soma de dois vetores de também está em .
Passo 4
Por último, vamos verificar se é fechado para multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor qualquer em e multiplicarmos por um número real , o resultado também deve estar em .
Vamos pegar um vetor em , onde e . Agora, multiplicando por :
Vamos verificar as condições para :
→ satisfaz
→ satisfaz
Então, multiplicar um vetor de por um escalar também resulta em um vetor que está em .