Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de
? Explique por quê em cada caso. Caso o conjunto seja espaço vetorial, determine a dimensão deste espaço.
b) (1 ponto)
;
b) (1 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer. Basicamente, para que
seja um subespaço, ele precisa:
- Contener o vetor zero.
- Ser fechado para adição de vetores.
- Ser fechado para multiplicação por escalar.
Além disso, se
for um subespaço, vamos determinar a dimensão dele, que é basicamente o número de direções independentes que ele possui.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz as condições de
:
-
: Aqui, , o que é verdade. -
: Aqui, , também é verdade.
Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado para a adição de vetores. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
.
Vamos supor que temos dois vetores
e
pertencentes a
. Então:
- Para
: e - Para
: e
Agora, somando
e
:
Vamos verificar as condições para
:
-
→ satisfaz -
→ satisfaz
Então, a soma de dois vetores de
também está em
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado para multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor qualquer em
e multiplicarmos por um número real
, o resultado também deve estar em
.
Vamos pegar um vetor
em
, onde
e
. Agora, multiplicando por
:
Vamos verificar as condições para
:
-
→ satisfaz -
→ satisfaz
Então, multiplicar um vetor de
por um escalar
também resulta em um vetor que está em
.
Resposta
O conjunto
é um subespaço de
e sua dimensão é 2.