Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de R^4 ? Explique por quê em cada caso. Caso o conjunto seja espaço vetorial, determine a dimensão deste espaço.
b) (1 ponto) T=(x, y, z, w) mid x=3 z e w=x-5 y;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se o conjunto é um subespaço de . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer. Basicamente, para que seja um subespaço, ele precisa:
  1. Contener o vetor zero.
  2. Ser fechado para adição de vetores.
  3. Ser fechado para multiplicação por escalar.
Além disso, se for um subespaço, vamos determinar a dimensão dele, que é basicamente o número de direções independentes que ele possui.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz as condições de :
  • : Aqui, , o que é verdade.
  • : Aqui, , também é verdade.
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, w1 + w2) é fechado para a adição de vetores. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em .
Vamos supor que temos dois vetores e pertencentes a . Então:
  • Para : e
  • Para : e
Agora, somando e :
Vamos verificar as condições para :
  • → satisfaz
  • → satisfaz
Então, a soma de dois vetores de também está em .

Passo 4

Por último, vamos verificar se cu = (cx, cy, cz, cw) é fechado para multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor qualquer em e multiplicarmos por um número real , o resultado também deve estar em .
Vamos pegar um vetor em , onde e . Agora, multiplicando por :
Vamos verificar as condições para :
  • → satisfaz
  • → satisfaz
Então, multiplicar um vetor de por um escalar também resulta em um vetor que está em .

Resposta

O conjunto é um subespaço de e sua dimensão é 2.

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