(d) Seja
uma matriz. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o complemento ortogonal de
é igual ao núcleo de
, ou seja,
. Isso está no campo da Álgebra Linear, especificamente trabalhando com espaços vetoriais, subespaços e conceitos de ortogonalidade. Para resolver, vamos precisar entender o que é o complemento ortogonal, a imagem de uma matriz (Lin(A)) e o núcleo de uma matriz (Nul(A)).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é
. Esse é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de
, também conhecido como o espaço das colunas ou imagem de
. Formalmente:
Passo 3
Agora, o complemento ortogonal de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores que são “perpendiculares” a cada vetor em
. Ou seja:
Aqui,
representa o produto escalar.
Passo 4
Vamos entender o que é
. Esse é o conjunto de todos os vetores
que, quando multiplicados pela matriz
, resultam no vetor zero. Formalmente:
Passo 5
Para mostrar que
, precisamos provar duas inclusões:
- Todo vetor em
está em . - Todo vetor em
está em .
Passo 6
Primeiro, suponha que
. Queremos mostrar que
, ou seja,
.
Passo 7
Como
está no complemento ortogonal de
, temos que para qualquer vetor
,
. Mas
pode ser escrito como
para algum
. Então:
Passo 8
O produto escalar
pode ser reescrito como
. Então:
Isso implica que
.
Passo 9
Se
, então
está no núcleo de
, ou seja,
. Dependendo do contexto, isso pode se relacionar diretamente com
.
Passo 10
Agora, vamos provar a outra direção. Suponha que
, ou seja,
. Queremos mostrar que
.
Passo 11
Para qualquer vetor
, podemos escrever
para algum
. Então:
Portanto,
é ortogonal a todos os vetores em
.
Resposta
Concluímos que
.