Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o complemento ortogonal de é igual ao núcleo de , ou seja, . Isso está no campo da Álgebra Linear, especificamente trabalhando com espaços vetoriais, subespaços e conceitos de ortogonalidade. Para resolver, vamos precisar entender o que é o complemento ortogonal, a imagem de uma matriz (Lin(A)) e o núcleo de uma matriz (Nul(A)).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é . Esse é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de , também conhecido como o espaço das colunas ou imagem de . Formalmente:
Passo 3
Agora, o complemento ortogonal de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores que são “perpendiculares” a cada vetor em . Ou seja:
Aqui, representa o produto escalar.
Passo 4
Vamos entender o que é . Esse é o conjunto de todos os vetores que, quando multiplicados pela matriz , resultam no vetor zero. Formalmente:
Passo 5
Para mostrar que , precisamos provar duas inclusões:
Todo vetor em está em .
Todo vetor em está em .
Passo 6
Primeiro, suponha que . Queremos mostrar que , ou seja, .
Passo 7
Como está no complemento ortogonal de , temos que para qualquer vetor , . Mas pode ser escrito como para algum . Então:
Passo 8
O produto escalar pode ser reescrito como . Então:
Isso implica que .
Passo 9
Se , então está no núcleo de , ou seja, . Dependendo do contexto, isso pode se relacionar diretamente com .
Passo 10
Agora, vamos provar a outra direção. Suponha que , ou seja, . Queremos mostrar que .
Passo 11
Para qualquer vetor , podemos escrever para algum . Então: