(d) Seja A uma matriz. Mostre que (Lin(A))^perp=Nul(A).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o complemento ortogonal de Lin(A) é igual ao núcleo de A, ou seja, (Lin(A))^perp = Nul(A). Isso está no campo da Álgebra Linear, especificamente trabalhando com espaços vetoriais, subespaços e conceitos de ortogonalidade. Para resolver, vamos precisar entender o que é o complemento ortogonal, a imagem de uma matriz (Lin(A)) e o núcleo de uma matriz (Nul(A)).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é Lin(A). Esse é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A, também conhecido como o espaço das colunas ou imagem de A. Formalmente:
Lin(A) = Ax | x in R^n

Passo 3

Agora, o complemento ortogonal de Lin(A), denotado por (Lin(A))^perp, é o conjunto de todos os vetores que são “perpendiculares” a cada vetor em Lin(A). Ou seja:
(Lin(A))^perp = v in R^m | v cdot w = 0 para todo w in Lin(A)
Aqui, cdot representa o produto escalar.

Passo 4

Vamos entender o que é Nul(A). Esse é o conjunto de todos os vetores x que, quando multiplicados pela matriz A, resultam no vetor zero. Formalmente:
Nul(A) = x in R^n | Ax = 0

Passo 5

Para mostrar que (Lin(A))^perp = Nul(A), precisamos provar duas inclusões:
  1. Todo vetor em (Lin(A))^perp está em Nul(A).
  2. Todo vetor em Nul(A) está em (Lin(A))^perp.

Passo 6

Primeiro, suponha que v in (Lin(A))^perp. Queremos mostrar que v in Nul(A), ou seja, Av = 0.

Passo 7

Como v está no complemento ortogonal de Lin(A), temos que para qualquer vetor w in Lin(A), v cdot w = 0. Mas w pode ser escrito como Ax para algum x in R^n. Então:
v cdot (Ax) = 0 forall x in R^n

Passo 8

O produto escalar v cdot (Ax) pode ser reescrito como (A^T v) cdot x. Então:
(A^T v) cdot x = 0 forall x in R^n
Isso implica que A^T v = 0.

Passo 9

Se A^T v = 0, então v está no núcleo de A^T, ou seja, v in Nul(A^T). Dependendo do contexto, isso pode se relacionar diretamente com Nul(A).

Passo 10

Agora, vamos provar a outra direção. Suponha que v in Nul(A), ou seja, Av = 0. Queremos mostrar que v in (Lin(A))^perp.

Passo 11

Para qualquer vetor w in Lin(A), podemos escrever w = Ax para algum x in R^n. Então:
v cdot w = v cdot (Ax) = (A^T v) cdot x = 0 cdot x = 0
Portanto, v é ortogonal a todos os vetores em Lin(A).

Resposta

Concluímos que (Lin(A))^perp = Nul(A).

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