[T]beta^alpha=(cccc 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & b^2 & b )
onde alpha e beta são bases de V e W, respectivamente. Determinar os valores de b que satisfaz a condição de cada item abaixo.
18a) T é injetora.
18b) T é sobrejetora.
18c) dim N(T)=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma matriz que representa uma transformação linear entre dois espaços vetoriais e . Precisamos descobrir para quais valores de a transformação satisfaz certas propriedades: ser injetora, sobrejetora e ter um núcleo de dimensão 2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinantes, posto da matriz e propriedades de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a matriz da transformação [T]beta^alpha = 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & b^2 & b :
Esta matriz tem 3 linhas e 4 colunas, o que significa que mapeia um espaço vetorial de dimensão 4 para um de dimensão 3.

Passo 3

Para verificar se é injetora, precisamos ver se o núcleo de contém apenas o vetor nulo. Isso acontece se a matriz tiver posto máximo, ou seja, igual ao número de linhas (3). Vamos calcular o determinante das submatrizes para encontrar quando o posto é 3.

Passo 4

Montamos as submatrizes 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & b^2 & b = 1(1 cdot b - 1 cdot b^2) - 1(1 cdot b - 1 cdot 1) + 1(1 cdot b^2 - 1 cdot 1) = b - b^2 - (b - 1) + (b^2 - 1) = -1 retirando uma coluna de cada vez e calculamos seus determinantes:
  1. Removendo a 1ª coluna:
O determinante é constante e diferente de zero, então a matriz tem posto 3 para todo .

Passo 5

Como o posto é 3, o núcleo de contém apenas o vetor nulo. Portanto, é injetora para qualquer valor de .

Resposta

Para 18a), a transformação é injetora para todo valor de .

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