Considere as seguintes curvas regulares:
,
Reparametrize essas curvas por comprimento de arco.
Reparametrize essas curvas por comprimento de arco.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para reparametrizar a curva regular dada por , onde
é um número real, por comprimento de arco. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre parametrização de curvas e comprimento de arco. Para isso, vamos precisar entender como calcular o comprimento de arco de uma curva e como ajustar a parametrização para que ela seja em termos desse comprimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa reparametrizar uma curva por comprimento de arco. Basicamente, queremos expressar a curva de forma que o parâmetro seja o próprio comprimento de arco, denotado por
. Isso facilita várias análises, já que
aumenta de forma contínua e uniforme ao longo da curva.
Passo 3
Para fazer isso, precisamos calcular o comprimento de arco
da curva
desde um ponto inicial até um parâmetro
. A fórmula para o comprimento de arco é:
Onde
é a derivada da curva em relação a
, e
é o módulo dessa derivada.
Passo 4
Vamos calcular a derivada
:
Passo 5
Agora, calculamos o módulo dessa derivada:
Observe que .
Passo 6
Simplificando a expressão:
Lembrando que .
Passo 7
Com o módulo constante, o comprimento de arco é:
Podemos escolher
para simplificar:
Passo 8
Agora, queremos expressar
em função de
. Da equação acima:
Passo 9
Substituindo
na expressão original da curva
:
Resposta
A parametrização da curva por comprimento de arco é:
Exercícios relacionados
Dois carros se movem segundo os seguintes vetores posição:
© Em que pontos elas se cruzam?
Determine o vetor posição
de uma partícula, se:
e
Determine o vetor posição
de uma partícula, se:
e
Dois carros se movem segundo os seguintes vetores posição:
(a) Mostre que eles nunca se chocarão.