Considere as seguintes curvas regulares: ,
Reparametrize essas curvas por comprimento de arco.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para reparametrizar a curva regular dada por , onde é um número real, por comprimento de arco. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre parametrização de curvas e comprimento de arco. Para isso, vamos precisar entender como calcular o comprimento de arco de uma curva e como ajustar a parametrização para que ela seja em termos desse comprimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa reparametrizar uma curva por comprimento de arco. Basicamente, queremos expressar a curva de forma que o parâmetro seja o próprio comprimento de arco, denotado por . Isso facilita várias análises, já que aumenta de forma contínua e uniforme ao longo da curva.

Passo 3

Para fazer isso, precisamos calcular o comprimento de arco da curva desde um ponto inicial até um parâmetro . A fórmula para o comprimento de arco é:
Onde é a derivada da curva em relação a , e é o módulo dessa derivada.

Passo 4

Vamos calcular a derivada :

Passo 5

Agora, calculamos o módulo dessa derivada:
Observe que .

Passo 6

Simplificando a expressão:
Lembrando que .

Passo 7

Com o módulo constante, o comprimento de arco é:
Podemos escolher para simplificar:

Passo 8

Agora, queremos expressar em função de . Da equação acima:

Passo 9

Substituindo na expressão original da curva :

Resposta

A parametrização da curva por comprimento de arco é:

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