Dada a curva gamma, encontre a reta tangente a gamma no ponto P, sendo: gamma(4 * raiz(t), t^2 - 10, 4 / t) ; P = (8, 6, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva e precisa encontrar a reta tangente a essa curva no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de vetores para achar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de t que nos dá o ponto na curva gamma(t). Vamos igualar cada componente de gamma(t) às coordenadas de P:
Vamos verificar as outras componentes para ter certeza:
Todas as componentes confirmam que é o valor correto.

Passo 3

Agora que sabemos que , vamos encontrar a derivada da curva gamma(t) para obter o vetor tangente. A derivada de gamma(t), denotada por , é dada por:
Vamos calcular cada componente:
Então, a derivada fica:

Passo 4

Vamos avaliar no valor para encontrar o vetor tangente no ponto P:
Esse vetor indica a direção da reta tangente à curva no ponto P.

Passo 5

Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever a equação da reta tangente usando a forma paramétrica:
Onde s é o parâmetro da reta.

Resposta

A reta tangente à curva gamma no ponto é dada por:

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