Dada a curva , encontre a reta tangente a no ponto , sendo: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva e precisa encontrar a reta tangente a essa curva no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de vetores para achar a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de que nos dá o ponto na curva . Vamos igualar cada componente de às coordenadas de :
Vamos verificar as outras componentes para ter certeza:
Todas as componentes confirmam que é o valor correto.
Passo 3
Agora que sabemos que , vamos encontrar a derivada da curva para obter o vetor tangente. A derivada de , denotada por , é dada por:
Vamos calcular cada componente:
Então, a derivada fica:
Passo 4
Vamos avaliar no valor para encontrar o vetor tangente no ponto :
Esse vetor indica a direção da reta tangente à curva no ponto .
Passo 5
Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever a equação da reta tangente usando a forma paramétrica: