Dada a curva , encontre a reta tangente a no ponto , sendo: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva e precisa encontrar a reta tangente a essa curva no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de vetores para achar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de que nos dá o ponto na curva . Vamos igualar cada componente de às coordenadas de :
Vamos verificar as outras componentes para ter certeza:
Todas as componentes confirmam que é o valor correto.

Passo 3

Agora que sabemos que , vamos encontrar a derivada da curva para obter o vetor tangente. A derivada de , denotada por , é dada por:
Vamos calcular cada componente:
Então, a derivada fica:

Passo 4

Vamos avaliar no valor para encontrar o vetor tangente no ponto :
Esse vetor indica a direção da reta tangente à curva no ponto .

Passo 5

Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever a equação da reta tangente usando a forma paramétrica:
Onde é o parâmetro da reta.

Resposta

A reta tangente à curva no ponto é dada por:

Exercícios relacionados

Encontre a equação da reta tangente à curva dada no ponto dado: .
Dê uma parametrização para as seguintes curvas: a reta .
Determine o vetor posição de uma partícula, se:
Considere as seguintes curvas regulares: , sen
Reparametrize essas curvas por comprimento de arco.