Os vetores e têm módulos de 3 unidades e 4 unidades, respectivamente. Qual é o ângulo entre esses vetores se é igual a 12 unidades?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, e , com módulos (ou seja, tamanhos) de 3 unidades e 4 unidades, respectivamente. A questão nos dá o produto escalar desses vetores, que é 12 unidades, e quer saber qual é o ângulo entre eles. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do produto escalar que relaciona os módulos dos vetores com o cosseno do ângulo entre eles.

Passo 2

A fórmula do produto escalar entre dois vetores e é:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são os módulos dos vetores.
  • é o ângulo entre os vetores.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Sabemos que:
Substituindo na fórmula:

Passo 4

Agora, simplificamos a equação para encontrar :
Dividindo ambos os lados por 12:

Passo 5

Conhecendo o valor do cosseno, podemos encontrar o ângulo . Sabemos que:
Isso significa que os vetores estão alinhados na mesma direção.

Resposta

O ângulo entre os vetores e é .

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