Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
. Nosso objetivo é encontrar a função
em termos de
. Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos básicos de equações diferenciais, como substituições e manipulações algébricas para simplificar a equação e integrá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a equação usando uma substituição que torne a equação mais fácil de lidar. Vamos definir uma nova variável
como
. Isso significa que
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Usando a regra do produto, temos:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Portanto:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados:
Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:
Passo 8
Igualando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Essa é a solução implícita da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é dada por:
Onde
é a constante de integração.