Resolva as equações diferenciais abaixo: y' = (x + y) / (x - y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo . Nosso objetivo é encontrar a função em termos de . Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos básicos de equações diferenciais, como substituições e manipulações algébricas para simplificar a equação e integrá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação usando uma substituição que torne a equação mais fácil de lidar. Vamos definir uma nova variável como . Isso significa que .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Usando a regra do produto, temos:
Aqui, é a derivada de em relação a .

Passo 4

Substituímos e na equação original:
Simplificando, a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos isolar :
Portanto:

Passo 6

Essa é uma equação diferencial separável. Vamos separar as variáveis e :

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados:
Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:

Passo 8

Igualando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Lembrando que , substituímos de volta:
Essa é a solução implícita da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde é a constante de integração.

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