Considere as seguintes funções f(x) = x - 7/2 e g(x) = x^2 - 1/4 definidas para todo x em R. Então, a respeito da solução da inequação | (g o f)(x) | > (g o f)(x), é possível afirmar que:
a) nenhum valor de x real é solução.
b) se x < 3, então x é solução.
c) se x > 7/2, então x é solução.
d) se x > 4, então x é solução.
e) se 3 < x < 4, então x é solução.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos duas funções definidas para todo número real:
A pergunta quer saber quais valores de satisfazem a inequação . Para resolver isso, vamos precisar entender composição de funções, propriedades do valor absoluto e resolver inequações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso é a composição das funções e , ou seja, . Vamos calcular isso:
Agora, nossa inequação fica:

Passo 3

Vamos analisar a inequação , onde .
Sabemos que:
  • Se , então , e a inequação não é verdadeira.
  • Se , então , e a inequação se torna , o que simplifica para , ou seja, .
Portanto, queremos encontrar os valores de que fazem .

Passo 4

Vamos resolver a inequação .
Primeiro, isolamos o termo quadrático:
Agora, tiramos a raiz de ambos os lados:
Isso significa que está entre e :

Passo 5

Agora, vamos resolver as duas desigualdades:
Portanto, combinando as duas, temos:

Resposta

A alternativa correta é a e) se , então é solução.

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