Construa o gráfico das funções de uma variável real definidas a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente construir o gráfico da função
. A matéria aqui envolve funções de uma variável real e como a gente pode desenhar seus gráficos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função valor absoluto funciona e como ela se combina com outras operações matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. O valor absoluto de
é sempre positivo, então:
Isso significa que podemos reescrever a função
de forma diferente para cada intervalo de
.
Passo 3
Vamos dividir a função em duas partes, dependendo do sinal de
:
- Quando
:
Aqui, a função se torna um polinômio do segundo grau com coeficiente negativo, o que significa que é uma parábola que desce.
- Quando
:
Agora, a função também é um polinômio do segundo grau, mas com coeficiente positivo, então a parábola sobe.
Passo 4
Agora, vamos resumir as duas partes da função:
Isso nos mostra que para valores positivos de
, a função desce, e para valores negativos, ela sobe.
Passo 5
Vamos identificar os pontos-chave para desenhar o gráfico:
- No ponto
:
Então, o gráfico passa pela origem.
-
Para
: A função é uma parábola que desce. Por exemplo: -
-
Para
: A função é uma parábola que sobe. Por exemplo: -
Passo 6
Com essas informações, vamos desenhar o gráfico:
- No lado positivo de
, desenhamos uma parábola virada para baixo, passando pela origem e descendo conforme aumenta. - No lado negativo de
, desenhamos uma parábola virada para cima, também passando pela origem e subindo conforme diminui. - O ponto de encontro das duas parábolas é a origem
.
Resposta
O gráfico da função
é formado por duas parábolas que se encontram na origem. Para
, a parábola está virada para baixo (
) e para
, está virada para cima (
). Assim, o gráfico tem forma de “V” invertido na origem.