Construa o gráfico das funções de uma variável real definidas a seguir: g(x) = -x * |x|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente construir o gráfico da função . A matéria aqui envolve funções de uma variável real e como a gente pode desenhar seus gráficos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função valor absoluto funciona e como ela se combina com outras operações matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . O valor absoluto de é sempre positivo, então:
Isso significa que podemos reescrever a função de forma diferente para cada intervalo de .

Passo 3

Vamos dividir a função em duas partes, dependendo do sinal de :
  1. Quando :
Aqui, a função se torna um polinômio do segundo grau com coeficiente negativo, o que significa que é uma parábola que desce.
  1. Quando :
Agora, a função também é um polinômio do segundo grau, mas com coeficiente positivo, então a parábola sobe.

Passo 4

Agora, vamos resumir as duas partes da função:
Isso nos mostra que para valores positivos de , a função desce, e para valores negativos, ela sobe.

Passo 5

Vamos identificar os pontos-chave para desenhar o gráfico:
  • No ponto :
Então, o gráfico passa pela origem.
  • Para : A função é uma parábola que desce. Por exemplo:
  • Para : A função é uma parábola que sobe. Por exemplo:

Passo 6

Com essas informações, vamos desenhar o gráfico:
  1. No lado positivo de , desenhamos uma parábola virada para baixo, passando pela origem e descendo conforme aumenta.
  2. No lado negativo de , desenhamos uma parábola virada para cima, também passando pela origem e subindo conforme diminui.
  3. O ponto de encontro das duas parábolas é a origem .

Resposta

O gráfico da função é formado por duas parábolas que se encontram na origem. Para , a parábola está virada para baixo ( ) e para , está virada para cima ( ). Assim, o gráfico tem forma de “V” invertido na origem.

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