Construa o gráfico das funções de uma variável real definidas a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente construir o gráfico da função
, onde
. Isso envolve entender como a função é formada, usando conceitos de valor absoluto e funções racionais. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função em diferentes intervalos de
e simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função. Observa que
. Então, podemos reescrever a função
assim:
Passo 3
Agora, vamos analisar o valor absoluto
. O valor absoluto de uma expressão depende se a expressão dentro dele é positiva ou negativa. Então, precisamos dividir nosso estudo em dois casos:
- Quando
(ou seja, ) - Quando
(ou seja, )
Passo 4
Caso 1:
Nesse caso,
. Substituindo na função:
Então, para todos os
,
.
Passo 5
Caso 2:
Aqui,
. Substituindo na função:
Portanto, para todos os
,
.
Passo 6
Agora que simplificamos a função em dois casos, podemos resumir:
Lembrando que
, já que a função não está definida nesse ponto.
Passo 7
Vamos agora esboçar o gráfico com base nessas informações:
- Para
, a função é constante e igual a 1. - Para
, a função é constante e igual a -1. - Em
, a função não existe, então teremos uma assíntota vertical ou um ponto vazio.
Passo 8
Então, o gráfico será composto por duas linhas horizontais:
- Uma linha horizontal em
para . - Outra linha horizontal em
para . - No ponto
, não há valor definido, então marcamos um círculo aberto para indicar que o ponto não está incluído.
Resposta
O gráfico da função
é formado por duas retas horizontais:
para
e
para
, com um ponto vazio em
.