Construa o gráfico das funções de uma variável real definidas a seguir: h(x) = |x - 1| / (1 - x), x ≠ 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente construir o gráfico da função , onde . Isso envolve entender como a função é formada, usando conceitos de valor absoluto e funções racionais. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função em diferentes intervalos de e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função. Observa que . Então, podemos reescrever a função assim:

Passo 3

Agora, vamos analisar o valor absoluto . O valor absoluto de uma expressão depende se a expressão dentro dele é positiva ou negativa. Então, precisamos dividir nosso estudo em dois casos:
  1. Quando (ou seja, )
  2. Quando (ou seja, )

Passo 4

Caso 1:
Nesse caso, . Substituindo na função:
Então, para todos os , .

Passo 5

Caso 2:
Aqui, . Substituindo na função:
Portanto, para todos os , .

Passo 6

Agora que simplificamos a função em dois casos, podemos resumir:
Lembrando que , já que a função não está definida nesse ponto.

Passo 7

Vamos agora esboçar o gráfico com base nessas informações:
  • Para , a função é constante e igual a 1.
  • Para , a função é constante e igual a -1.
  • Em , a função não existe, então teremos uma assíntota vertical ou um ponto vazio.

Passo 8

Então, o gráfico será composto por duas linhas horizontais:
  • Uma linha horizontal em para .
  • Outra linha horizontal em para .
  • No ponto , não há valor definido, então marcamos um círculo aberto para indicar que o ponto não está incluído.

Resposta

O gráfico da função é formado por duas retas horizontais: para e para , com um ponto vazio em .

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