Considere as seguintes funções definidas implícitamente. Use derivação implícita para calcular a derivada nos pontos indicados.
(a) , no ponto . [ Resp: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de forma implícita pela equação . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a derivada nesse ponto específico . Para isso, vamos usar **derivação implícita**, que é uma técnica muito útil quando está misturado com na equação.
Passo 2
Primeiro, precisamos **diferenciar ambos os lados** da equação em relação a . Lembre-se que quando a gente diferencia em relação a , a derivada é . Vamos fazer isso passo a passo:
Isso fica:
Aqui, usamos a regra do produto para derivar e a regra da cadeia para .
Passo 3
Agora, vamos **reunir todos os termos com ** de um lado e os demais termos do outro. Ficou assim:
Podemos fatorar do lado esquerdo:
Passo 4
Para isolar , **dividimos ambos os lados** por :
Essa é a expressão geral para a derivada usando derivação implícita.
Passo 5
Agora, vamos **substituir os valores do ponto ** na expressão que encontramos para :
Resposta
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Use derivação implícita para calcular : .
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