Considere as seguintes funções e Determine: Os intervalos de crescimento e decrescimento
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa descobrir em quais intervalos ela está crescendo e decrescendo. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, que nos ajuda a entender como a função se comporta.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, se ela está aumentando ou diminuindo em cada ponto. Vamos derivar termo a termo:
Calculando cada derivada:
Passo 3
Agora, para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos achar os pontos críticos, ou seja, onde a derivada é zero ou indefinida. Como nossa derivada é um polinômio, ela está definida para todo valor de
. Então, vamos resolver a equação
:
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 6:
Fatorando o polinômio:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Com os pontos críticos em mãos, vamos dividir a linha dos números em intervalos para testar onde a derivada é positiva (função crescendo) ou negativa (função decrescendo). Os intervalos são:
Vamos escolher um número de cada intervalo e substituir na derivada
para ver o sinal.
-
Para
, por exemplo, : Então, a função está crescente nesse intervalo. -
Para
, por exemplo, : Então, a função está decrescente nesse intervalo. -
Para
, por exemplo, : Então, a função está crescente nesse intervalo.
Resposta
A função
está crescendo nos intervalos
e
, e está decrescendo no intervalo
.
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