Considere as seguintes funções e Determine: Os intervalos de crescimento e decrescimento

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa descobrir em quais intervalos ela está crescendo e decrescendo. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, que nos ajuda a entender como a função se comporta.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, se ela está aumentando ou diminuindo em cada ponto. Vamos derivar termo a termo:
Calculando cada derivada:

Passo 3

Agora, para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos achar os pontos críticos, ou seja, onde a derivada é zero ou indefinida. Como nossa derivada é um polinômio, ela está definida para todo valor de . Então, vamos resolver a equação :
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 6:
Fatorando o polinômio:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Com os pontos críticos em mãos, vamos dividir a linha dos números em intervalos para testar onde a derivada é positiva (função crescendo) ou negativa (função decrescendo). Os intervalos são:
Vamos escolher um número de cada intervalo e substituir na derivada para ver o sinal.
  • Para , por exemplo, :
    Então, a função está crescente nesse intervalo.
  • Para , por exemplo, :
    Então, a função está decrescente nesse intervalo.
  • Para , por exemplo, :
    Então, a função está crescente nesse intervalo.

Resposta

A função está crescendo nos intervalos e , e está decrescendo no intervalo .

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