Considere as seguintes funções e Determine: Os intervalos de crescimento e decrescimento
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente a derivada da função. A derivada nos ajuda a entender como a função se comporta: se a derivada é positiva, a função está crescendo; se é negativa, está decrescendo.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada de
. A função é
. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia. Vamos chamar
, então
.
A derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
em relação a
:
A derivada de
é
, então:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos analisar o sinal dela para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
Sabemos que
é sempre positivo, porque a exponencial de qualquer número é positiva. O denominador
também é sempre positivo, já que qualquer número ao quadrado é positivo (exceto quando
, mas nessa função
não está no domínio).
Então, o sinal da derivada depende do
na frente:
Resposta
Portanto, a função
está decrescendo em todos os intervalos onde está definida, ou seja, para
e
.