Considere as seguintes funções e Determine: Os intervalos de crescimento e decrescimento

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente a derivada da função. A derivada nos ajuda a entender como a função se comporta: se a derivada é positiva, a função está crescendo; se é negativa, está decrescendo.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada de . A função é . Para derivar isso, usamos a regra da cadeia. Vamos chamar , então .
A derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a :
A derivada de é , então:

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos analisar o sinal dela para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
Sabemos que é sempre positivo, porque a exponencial de qualquer número é positiva. O denominador também é sempre positivo, já que qualquer número ao quadrado é positivo (exceto quando , mas nessa função não está no domínio).
Então, o sinal da derivada depende do na frente:

Resposta

Portanto, a função está decrescendo em todos os intervalos onde está definida, ou seja, para e .

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