Considere as seguintes funções do
e identifique se são operadores lineares ou não:
©
Resp.: Não
©
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por
. O objetivo é descobrir se essa função é um operador linear ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma função linear e verificar se a função
satisfaz essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um operador linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
e
em
e qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Adição Vetorial:
- Multiplicação por Escalar:
Outra maneira de pensar nisso é que uma função linear não possui termo constante; ela pode ser expressa apenas como uma combinação linear das variáveis de entrada.
Passo 3
Vamos verificar se a função
satisfaz essas propriedades. Olhando para a definição de
:
Perceba que na terceira componente da função, temos o termo
. Isso é um termo constante, que não depende das variáveis
.
Passo 4
Se uma função possui um termo constante, isso significa que ela não passa pela origem (ou seja,
). Vamos verificar:
Como
, já podemos concluir que
não é linear.
Resposta
Não, a função
não é um operador linear.
Exercícios relacionados
Sejam
, e considere a matriz
tal que
, para todo
.
(a) Mostre que é uma matriz simétrica.
(a) Mostre que
Seja
o conjunto de todos os vetores da forma
tal que
. Verifique se
é um subespaço de
.
Considere
um espaço vetorial sobre
, com produto interno.
(b) Prove que, se é um vetor não nulo e
, então
é ortogonal a
.
(b) Prove que, se
Considere as seguintes funções do
e identifique se são operadores lineares ou não:
(b) Resp.: Não
(b)