Considere as seguintes funções do F: R^3 R^3 e identifique se são operadores lineares ou não:
© F(x, y, z)=(x-z, z-y, 2 x-y+1) Resp.: Não

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por . O objetivo é descobrir se essa função é um operador linear ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma função linear e verificar se a função satisfaz essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um operador linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e em e qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Adição Vetorial:
  2. Multiplicação por Escalar:
Outra maneira de pensar nisso é que uma função linear não possui termo constante; ela pode ser expressa apenas como uma combinação linear das variáveis de entrada.

Passo 3

Vamos verificar se a função F(x, y, z) = (x - z, z - y, 2x - y + 1) satisfaz essas propriedades. Olhando para a definição de :
Perceba que na terceira componente da função, temos o termo . Isso é um termo constante, que não depende das variáveis .

Passo 4

Se uma função possui um termo constante, isso significa que ela não passa pela origem (ou seja, F(0, 0, 0) = (0 - 0, 0 - 0, 2 cdot 0 - 0 + 1) = (0, 0, 1) ). Vamos verificar:
Como , já podemos concluir que não é linear.

Resposta

Não, a função não é um operador linear.

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