Sejam
, e considere a matriz
tal que
, para todo
.
(a) Mostre que
é uma matriz simétrica.
(a) Mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma matriz
construída a partir dos produtos internos (ou seja, dot products) de vetores
no espaço
. O exercício quer que a gente mostre que essa matriz
é simétrica. Isso significa que a matriz deve ser igual à sua transposta, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é matriz simétrica e como os produtos internos funcionam.
Passo 2
Vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz
é simétrica se, para todos os índices
e
, o elemento na posição
é igual ao elemento na posição
. Em outras palavras,
para todo
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para como os elementos de
são definidos. Cada elemento
é o produto interno de
e
, ou seja,
. O produto interno tem uma propriedade importante: é comutativo. Isso significa que
.
Passo 4
Usando a propriedade comutativa do produto interno, podemos dizer que:
Isso mostra que cada elemento
da matriz
é igual ao elemento
.
Passo 5
Como mostramos que
para todos os
e
, isso confirma que a matriz
é simétrica.
Resposta
A matriz
é simétrica porque
para todos os
e
.
Exercícios relacionados
Seja
o conjunto de todos os vetores da forma
tal que
. Verifique se
é um subespaço de
.
Sejam os elementos
e
de
. Encontre o elemento
tal que
e
.
Considere as seguintes funções do
e identifique se são operadores lineares ou não:
© Resp.: Não
©
Considere
um espaço vetorial sobre
, com produto interno.
(b) Prove que, se é um vetor não nulo e
, então
é ortogonal a
.
(b) Prove que, se