Sejam , e considere a matriz tal que , para todo .
(a) Mostre que é uma matriz simétrica.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma matriz construída a partir dos produtos internos (ou seja, dot products) de vetores no espaço . O exercício quer que a gente mostre que essa matriz é simétrica. Isso significa que a matriz deve ser igual à sua transposta, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar saber o que é matriz simétrica e como os produtos internos funcionam.

Passo 2

Vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se, para todos os índices e , o elemento na posição é igual ao elemento na posição . Em outras palavras, para todo .

Passo 3

Agora, vamos olhar para como os elementos de são definidos. Cada elemento é o produto interno de e , ou seja, . O produto interno tem uma propriedade importante: é comutativo. Isso significa que .

Passo 4

Usando a propriedade comutativa do produto interno, podemos dizer que:
Isso mostra que cada elemento da matriz é igual ao elemento .

Passo 5

Como mostramos que para todos os e , isso confirma que a matriz é simétrica.

Resposta

A matriz é simétrica porque para todos os e .

Exercícios relacionados

Seja o conjunto de todos os vetores da forma tal que . Verifique se é um subespaço de .
Sejam os elementos e de . Encontre o elemento tal que e .
Considere as seguintes funções do e identifique se são operadores lineares ou não:
© Resp.: Não
Considere um espaço vetorial sobre , com produto interno.
(b) Prove que, se é um vetor não nulo e , então é ortogonal a .