Sejam g1, g2, ldots, gn in R^n, e considere a matriz A in R^n times n tal que ai j=lang<= gi, gjrang<=, para todo i, j=1, ldots, n.
(a) Mostre que A é uma matriz simétrica.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma matriz construída a partir dos produtos internos (ou seja, dot products) de vetores no espaço . O exercício quer que a gente mostre que essa matriz é simétrica. Isso significa que a matriz deve ser igual à sua transposta, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar saber o que é matriz simétrica e como os produtos internos funcionam.

Passo 2

Vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se, para todos os índices e , o elemento na posição é igual ao elemento na posição . Em outras palavras, para todo .

Passo 3

Agora, vamos olhar para como os elementos de são definidos. Cada elemento é o produto interno de e , ou seja, . O produto interno tem uma propriedade importante: é comutativo. Isso significa que .

Passo 4

Usando a propriedade comutativa do produto interno, podemos dizer que:
aij = lang<= gi, gj rang<= = lang<= gj, gi rang<= = aji
Isso mostra que cada elemento da matriz é igual ao elemento .

Passo 5

Como mostramos que para todos os e , isso confirma que a matriz é simétrica.

Resposta

A matriz é simétrica porque para todos os e .

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