Seja
o conjunto de todos os vetores da forma
tal que
. Verifique se
é um subespaço de
.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou. A gente tem o conjunto
formado por todos os vetores da forma
que satisfazem a equação
. Nosso objetivo aqui é verificar se esse conjunto
é um subespaço do espaço tridimensional
. Para fazer isso, vamos precisar conhecer os critérios que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um subespaço. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é considerado um subespaço se ele satisfaz três condições principais:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar em . - Fechado sob adição: Se
e são vetores em , então também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um número real, então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
dado.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é
. Vamos substituí-lo na equação que define
:
Como a equação é satisfeita, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Verificando a fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer
e
que pertencem a
. Isso significa que:
Agora, somamos esses vetores:
Vamos verificar se
satisfaz a equação de
:
Portanto,
também está em
.
Passo 5
3. Verificando a fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer
em
e um número real
. Como
está em
, temos:
Agora, multiplicamos o vetor por
:
Vamos verificar se
satisfaz a equação de
:
Assim,
também está em
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço de
porque satisfaz todas as condições necessárias: contém o vetor zero, e é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Exercícios relacionados
Sejam os elementos
e
de
. Encontre o elemento
tal que
e
.
Seja
um espaço vetorial sobre
, com produto interno. Mostre que, para quaisquer
:
© .
©
Sejam
, e considere a matriz
tal que
, para todo
.
(a) Mostre que é uma matriz simétrica.
(a) Mostre que
Considere as seguintes funções do
e identifique se são operadores lineares ou não:
© Resp.: Não
©