Seja o conjunto de todos os vetores da forma tal que . Verifique se é um subespaço de .

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou. A gente tem o conjunto formado por todos os vetores da forma que satisfazem a equação . Nosso objetivo aqui é verificar se esse conjunto é um subespaço do espaço tridimensional . Para fazer isso, vamos precisar conhecer os critérios que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um subespaço. Um subconjunto de um espaço vetorial é considerado um subespaço se ele satisfaz três condições principais:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se e são vetores em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um número real, então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto dado.

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em :
O vetor zero em é . Vamos substituí-lo na equação que define :
Como a equação é satisfeita, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificando a fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer e que pertencem a . Isso significa que:
Agora, somamos esses vetores:
Vamos verificar se satisfaz a equação de :
Portanto, também está em .

Passo 5

3. Verificando a fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em e um número real . Como está em , temos:
Agora, multiplicamos o vetor por :
Vamos verificar se satisfaz a equação de :
Assim, também está em .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço de porque satisfaz todas as condições necessárias: contém o vetor zero, e é fechado sob adição e multiplicação por escalar.

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Sejam os elementos e de . Encontre o elemento tal que e .
Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno. Mostre que, para quaisquer :
© .
Sejam , e considere a matriz tal que , para todo .
(a) Mostre que é uma matriz simétrica.
Considere as seguintes funções do e identifique se são operadores lineares ou não:
© Resp.: Não