Seja V subseteq R^3 o conjunto de todos os vetores da forma (x, y, z) tal que x+2 y=0. Verifique se V é um subespaço de R^3.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou. A gente tem o conjunto formado por todos os vetores da forma que satisfazem a equação . Nosso objetivo aqui é verificar se esse conjunto é um subespaço do espaço tridimensional . Para fazer isso, vamos precisar conhecer os critérios que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um subespaço. Um subconjunto de um espaço vetorial é considerado um subespaço se ele satisfaz três condições principais:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se e são vetores em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um número real, então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto dado.

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em x + 2y = 0 0 + 2 times 0 = 0 0 = 0 :
O vetor zero em é . Vamos substituí-lo na equação que define :
Como a equação é satisfeita, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificando a fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer x1 + 2y1 = 0 x2 + 2y2 = 0 e u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) que pertencem a (x1 + x2) + 2(y1 + y2) = (x1 + 2y1) + (x2 + 2y2) = 0 + 0 = 0 . Isso significa que:
Agora, somamos esses vetores:
Vamos verificar se satisfaz a equação de :
Portanto, também está em .

Passo 5

3. Verificando a fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer x + 2y = 0 em cu = (cx, cy, cz) e um número real (cx) + 2(cy) = c(x + 2y) = c times 0 = 0 . Como está em , temos:
Agora, multiplicamos o vetor por :
Vamos verificar se satisfaz a equação de :
Assim, também está em .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço de porque satisfaz todas as condições necessárias: contém o vetor zero, e é fechado sob adição e multiplicação por escalar.

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