Considere as seguintes funções y(x) definidas implícitamente. Use derivação implícita para calcular a derivada nos pontos indicados.
(a) x^2 + x*y + y^2 = 1, no ponto p = (0 ; 1). [ Resp: y' (x) = -(2 x + y) / (x + 2 y) ; y'(0) = -0.5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de forma implícita pela equação . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a derivada nesse ponto específico . Para isso, vamos usar derivação implícita, que é uma técnica muito útil quando está misturado com na equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que quando a gente diferencia em relação a , a derivada é . Vamos fazer isso passo a passo:
Isso fica:
Aqui, usamos a regra do produto para derivar e a regra da cadeia para .

Passo 3

Agora, vamos reunir todos os termos com de um lado e os demais termos do outro. Ficou assim:
Podemos fatorar do lado esquerdo:

Passo 4

Para isolar , dividimos ambos os lados por :
Essa é a expressão geral para a derivada usando derivação implícita.

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores do ponto na expressão que encontramos para :

Resposta

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