Considere as seguintes funções
definidas implícitamente. Use derivação implícita para calcular a derivada nos pontos indicados.
(a)
, no ponto
. [ Resp:
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de forma implícita pela equação
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a derivada
nesse ponto específico
. Para isso, vamos usar derivação implícita, que é uma técnica muito útil quando
está misturado com
na equação.
Passo 2
Primeiro, precisamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que quando a gente diferencia
em relação a
, a derivada é
. Vamos fazer isso passo a passo:
Isso fica:
Aqui, usamos a regra do produto para derivar
e a regra da cadeia para
.
Passo 3
Agora, vamos reunir todos os termos com
de um lado e os demais termos do outro. Ficou assim:
Podemos fatorar
do lado esquerdo:
Passo 4
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Essa é a expressão geral para a derivada
usando derivação implícita.
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores do ponto
na expressão que encontramos para
: