Considere as seguintes matrizes: A = [[1, 2], [3, -4]], B = [[5, 0], [-6, 7]].
Encontre: (a) AT, (b) B^T, © (A B)^T, (d) AT BT.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas matrizes, A e B, e precisamos encontrar:
a) A transposta de A, que é AT.
b) A transposta de B, que é B^T.
c) A transposta do produto de A e B, que é (A B)^T.
d) O produto das transpostas de A e B, que é AT BT.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de transposição de matrizes e como ela interage com a multiplicação de matrizes.

Passo 2

Vamos começar encontrando a transposta da matriz A, ou seja, AT. A transposta de uma matriz é simplesmente aquela matriz onde as linhas viram colunas e as colunas viram linhas.
A matriz A é:
Para obter AT, trocamos as linhas por colunas:
  • A primeira linha de A (1, 2) vira a primeira coluna de AT.
  • A segunda linha de A (3, -4) vira a segunda coluna de AT.
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a transposta da matriz B, ou seja, B^T. Fazemos o mesmo processo de trocar linhas por colunas.
A matriz B é:
Transpondo:
  • A primeira linha de B (5, 0) vira a primeira coluna de B^T.
  • A segunda linha de B (-6, 7) vira a segunda coluna de B^T.
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a transposta do produto das matrizes A e B, ou seja, (A B)^T. Primeiro, precisamos multiplicar A por B.
A multiplicação de matrizes funciona multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz.
Primeiro, calculamos A B:
Vamos calcular cada elemento:
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
Então,
Agora, vamos encontrar a transposta dessa matriz:

Passo 5

Por fim, vamos calcular o produto das transpostas de A e B, ou seja, AT BT. Já encontramos AT e B^T nos passos anteriores:
Agora, multiplicamos AT por B^T:
Calculando cada elemento:
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
Então,

Resposta

a)
b)
c)
d)

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