Seja . Encontre uma matriz triangular com entradas diagonais positivas e tal que (OBS: , sendo A uma matriz quadrada).
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão nos dá uma matriz triangular e pede para encontrarmos outra matriz triangular com entradas diagonais positivas tal que . Aqui, vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, especificamente a multiplicação de matrizes triangulares e propriedades das matrizes diagonais. Precisamos saber como multiplicar matrizes e entender como as entradas de uma matriz quadrada são calculadas nesse processo.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que a matriz também é triangular superior, já que é triangular superior e o produto de duas matrizes triangulares superiores também é triangular superior. Vamos assumir que tem a seguinte forma:
Onde são positivos, conforme o enunciado.
Passo 3
Agora, vamos calcular e igualar com a matriz . A multiplicação de matrizes nos dá: