Seja B = [[1, 8, 5], [0, 9, 5], [0, 0, 4]]. Encontre uma matriz triangular A com entradas diagonais positivas e tal que A^2 = B (OBS: A^2 = A . A, sendo A uma matriz quadrada).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão nos dá uma matriz triangular e pede para encontrarmos outra matriz triangular com entradas diagonais positivas tal que . Aqui, vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, especificamente a multiplicação de matrizes triangulares e propriedades das matrizes diagonais. Precisamos saber como multiplicar matrizes e entender como as entradas de uma matriz quadrada são calculadas nesse processo.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que a matriz também é triangular superior, já que é triangular superior e o produto de duas matrizes triangulares superiores também é triangular superior. Vamos assumir que tem a seguinte forma:
Onde são positivos, conforme o enunciado.

Passo 3

Agora, vamos calcular e igualar com a matriz . A multiplicação de matrizes nos dá:
Igualando a :

[


]

Passo 4

Agora, vamos igualar entrada por entrada:
  1. Para a posição (1,1):
  1. Para a posição (2,2):
  1. Para a posição (3,3):
  1. Para a posição (1,2):
  1. Para a posição (2,3):
  1. Para a posição (1,3):

Resposta

A matriz triangular que satisfaz é:

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