Seja . Encontre uma matriz triangular com entradas diagonais positivas e tal que (OBS: , sendo A uma matriz quadrada).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão nos dá uma matriz triangular e pede para encontrarmos outra matriz triangular com entradas diagonais positivas tal que . Aqui, vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, especificamente a multiplicação de matrizes triangulares e propriedades das matrizes diagonais. Precisamos saber como multiplicar matrizes e entender como as entradas de uma matriz quadrada são calculadas nesse processo.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que a matriz também é triangular superior, já que é triangular superior e o produto de duas matrizes triangulares superiores também é triangular superior. Vamos assumir que tem a seguinte forma:
Onde são positivos, conforme o enunciado.

Passo 3

Agora, vamos calcular e igualar com a matriz . A multiplicação de matrizes nos dá:
Igualando a :

[


]

Passo 4

Agora, vamos igualar entrada por entrada:
  1. Para a posição (1,1):
  1. Para a posição (2,2):
  1. Para a posição (3,3):
  1. Para a posição (1,2):
  1. Para a posição (2,3):
  1. Para a posição (1,3):

Resposta

A matriz triangular que satisfaz é:

Exercícios relacionados

Considere as seguintes matrizes: .
Encontre: (a) , (b) , © , (d) .
(a) Encontre os três primeiros termos da sequência das somas parciais.
Resolva cada um dos seguintes sistemas:
(a)

Resolva cada um dos seguintes sistemas:
©