Realize o estudo das seguintes parábolas (Vértice, Foco, Diretriz e Gráfico):
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente estudar a parábola definida pela equação . Isso envolve encontrar o vértice, o foco, a diretriz e desenhar o gráfico dessa parábola. Para isso, vamos precisar entender algumas propriedades das parábolas e como aplicar fórmulas específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vértice da parábola. A forma geral da parábola que abre para cima ou para baixo é , onde é o vértice.
No nosso caso, a equação pode ser escrita como . Isso mostra que o vértice está no ponto .
Passo 3
Agora, vamos encontrar o foco da parábola. A fórmula para a distância do foco ao vértice para uma parábola na forma é .
Aqui, , então a distância é . Como a parábola abre para cima, o foco fica acima do vértice. Portanto, o foco está em .
Passo 4
Em seguida, vamos determinar a diretriz. A diretriz é uma linha reta que fica do lado oposto ao foco em relação ao vértice. A distância da diretriz ao vértice também é .
Como a parábola abre para cima, a diretriz fica abaixo do vértice. Assim, a equação da diretriz é .
Passo 5
Por fim, vamos esboçar o gráfico da parábola. Sabemos que o vértice está na origem , o foco está em e a diretriz é a linha . A parábola abre para cima, então ela será simétrica em relação ao eixo y.
Resposta
O estudo da parábola resulta no seguinte:
Vértice:
Foco:
Diretriz:
Gráfico: Uma parábola que abre para cima, com vértice na origem, foco acima do vértice e diretriz abaixo da origem.