Considere os sistemas seguintes nas incógnitas x, y e z.
(b) x+y+a z=1
x+a y+z=4
a x+y+z=b
Para quais valores de a o sistema dado tem solução única e para quais pares de valores (a, b) o sistema mais do que uma solução?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas ( x, y, z) e quer descobrir para quais valores de a ele tem uma solução única ou múltiplas soluções. Isso envolve um pouco de álgebra linear, especialmente trabalhando com determinantes de matrizes para entender quando o sistema tem solução única.

Passo 2

Primeiro, vamos arrumar o sistema na forma de matrizes. A gente pode escrever o sistema assim:
x + y + a z = 1 x + a y + z = 4 a x + y + z = b
Isso dá a matriz dos coeficientes:
A = 1 & 1 & a 1 & a & 1 a & 1 & 1

Passo 3

Para saber se o sistema tem solução única, múltiplas soluções ou nenhuma, a gente olha o determinante dessa matriz A. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, pode ter nenhuma ou infinitas soluções, dependendo do vetor de constantes.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de A:
det(A) = 1 cdot (a cdot 1 - 1 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot 1 - a cdot 1) + a cdot (1 cdot 1 - a cdot a)
Simplificando:
det(A) = 1 cdot (a - 1) - 1 cdot (1 - a) + a cdot (1 - a^2)
= (a - 1) - (1 - a) + a(1 - a^2)
= a - 1 - 1 + a + a - a^3
= 3a - 2 - a^3
Então, det(A) = -a^3 + 3a - 2.

Passo 5

Vamos igualar o determinante a zero para encontrar os valores de a que não garantem uma solução única:
-a^3 + 3a - 2 = 0 Rightarrow a^3 - 3a + 2 = 0
Vamos resolver essa equação cúbica. Testando valores inteiros, vemos que a=1 é uma solução:
1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0
Então, (a - 1) é um fator. Dividindo o polinômio por (a - 1):
a^3 - 3a + 2 = (a - 1)(a^2 + a - 2)
Agora, resolvemos a^2 + a - 2 = 0:
a = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Então, a = 1 ou a = -2.

Passo 6

Com isso, os valores de a que fazem o determinante zero são a = 1 e a = -2. Para esses valores, o sistema pode ter nenhuma ou múltiplas soluções. Para valores de a diferentes de 1 e -2, o determinante é diferente de zero, então o sistema tem uma solução única.

Passo 7

Agora, vamos verificar quando o sistema tem mais de uma solução, ou seja, quando a = 1 ou a = -2. Para isso, precisamos que as equações sejam compatíveis. Vamos analisar cada caso:
Caso 1: a = 1
Substituindo a = 1 no sistema:
x + y + z = 1 x + y + z = 4 x + y + z = b
As duas primeiras equações dão 1 = 4, o que é impossível. Então, para a = 1, o sistema não tem solução.
Caso 2: a = -2
Substituindo a = -2 no sistema:
x + y - 2z = 1 x - 2y + z = 4 -2x + y + z = b
Vamos resolver as duas primeiras equações:
Da primeira equação: x = 1 - y + 2z
Substituindo na segunda:
1 - y + 2z - 2y + z = 4 1 - 3y + 3z = 4 -3y + 3z = 3 -y + z = 1 Rightarrow z = y + 1
Agora, substituindo z = y + 1 e x = 1 - y + 2(y + 1) = 1 - y + 2y + 2 = 3 + y na terceira equação:
-2(3 + y) + y + (y + 1) = b -6 - 2y + y + y + 1 = b -5 = b
Então, para a = -2, o sistema tem soluções apenas se b = -5. Nesse caso, tem infinitas soluções.

Resposta

O sistema tem solução única para todo a neq 1 e a neq -2. Quando a = -2 e b = -5, o sistema possui infinitas soluções. Para a = 1, o sistema não tem solução.

Exercícios relacionados