Considere os sistemas seguintes nas incógnitas e .
(b)


Para quais valores de o sistema dado tem solução única e para quais pares de valores o sistema mais do que uma solução?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas ( ) e quer descobrir para quais valores de ele tem uma solução única ou múltiplas soluções. Isso envolve um pouco de álgebra linear, especialmente trabalhando com determinantes de matrizes para entender quando o sistema tem solução única.

Passo 2

Primeiro, vamos arrumar o sistema na forma de matrizes. A gente pode escrever o sistema assim:
Isso dá a matriz dos coeficientes:

Passo 3

Para saber se o sistema tem solução única, múltiplas soluções ou nenhuma, a gente olha o determinante dessa matriz . Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, pode ter nenhuma ou infinitas soluções, dependendo do vetor de constantes.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de :
Simplificando:
Então, .

Passo 5

Vamos igualar o determinante a zero para encontrar os valores de que não garantem uma solução única:
Vamos resolver essa equação cúbica. Testando valores inteiros, vemos que é uma solução:
Então, é um fator. Dividindo o polinômio por :
Agora, resolvemos :
Então, ou .

Passo 6

Com isso, os valores de que fazem o determinante zero são e . Para esses valores, o sistema pode ter nenhuma ou múltiplas soluções. Para valores de diferentes de 1 e -2, o determinante é diferente de zero, então o sistema tem uma solução única.

Passo 7

Agora, vamos verificar quando o sistema tem mais de uma solução, ou seja, quando ou . Para isso, precisamos que as equações sejam compatíveis. Vamos analisar cada caso:
Caso 1:
Substituindo no sistema:
As duas primeiras equações dão , o que é impossível. Então, para , o sistema não tem solução.
Caso 2:
Substituindo no sistema:
Vamos resolver as duas primeiras equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Então, para , o sistema tem soluções apenas se . Nesse caso, tem infinitas soluções.

Resposta

O sistema tem solução única para todo e . Quando e , o sistema possui infinitas soluções. Para , o sistema não tem solução.

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Realize o estudo das seguintes parábolas (Vértice, Foco, Diretriz e Gráfico):
Determinar os vértices, centro, focos, excentricidade e esboçar o gráfico das seguintes hipérboles:
Considere as seguintes matrizes:
Realize as seguintes operações:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) .
(i)
(j)
Determine em cada caso os valores de que fazem como que o sistema tenha solução única, infinitas soluções o não tenha solução.
(a)
(b)