Considere os sistemas seguintes nas incógnitas e .
(b)
Para quais valores de o sistema dado tem solução única e para quais pares de valores o sistema mais do que uma solução?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas () e quer descobrir para quais valores de ele tem uma solução única ou múltiplas soluções. Isso envolve um pouco de álgebra linear, especialmente trabalhando com determinantes de matrizes para entender quando o sistema tem solução única.
Passo 2
Primeiro, vamos arrumar o sistema na forma de matrizes. A gente pode escrever o sistema assim:
Isso dá a matriz dos coeficientes:
Passo 3
Para saber se o sistema tem solução única, múltiplas soluções ou nenhuma, a gente olha o determinante dessa matriz . Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, pode ter nenhuma ou infinitas soluções, dependendo do vetor de constantes.
Passo 4
Vamos calcular o determinante de :
Simplificando:
Então, .
Passo 5
Vamos igualar o determinante a zero para encontrar os valores de que não garantem uma solução única:
Vamos resolver essa equação cúbica. Testando valores inteiros, vemos que é uma solução:
Então, é um fator. Dividindo o polinômio por :
Agora, resolvemos :
Então, ou .
Passo 6
Com isso, os valores de que fazem o determinante zero são e . Para esses valores, o sistema pode ter nenhuma ou múltiplas soluções. Para valores de diferentes de 1 e -2, o determinante é diferente de zero, então o sistema tem uma solução única.
Passo 7
Agora, vamos verificar quando o sistema tem mais de uma solução, ou seja, quando ou . Para isso, precisamos que as equações sejam compatíveis. Vamos analisar cada caso:
Caso 1:
Substituindo no sistema:
As duas primeiras equações dão , o que é impossível. Então, para , o sistema não tem solução.
Caso 2:
Substituindo no sistema:
Vamos resolver as duas primeiras equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Então, para , o sistema tem soluções apenas se . Nesse caso, tem infinitas soluções.
Resposta
O sistema tem solução única para todo e . Quando e , o sistema possui infinitas soluções. Para , o sistema não tem solução.