Considere os seguintes números complexos e calcule o resultado das operações solicitadas, representado nas formas retangular e polar. Utilize a calculadora científica para realizar os cálculos:
A=3+j 4
B=2+j 7
C=50 e^-j3 0^circ
D=30 e^i 45^circ

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com números complexos, que são números que têm uma parte real e uma imaginária. Eles podem ser representados de duas formas principais:
  1. Forma Retangular: onde a gente escreve o número como $ a + jb $, sendo $ a $ a parte real e $ b $ a parte imaginária.
  2. Forma Polar: onde descrevemos o número em termos de módulo (a distância do número até a origem no plano) e argumento (o ângulo que ele forma com o eixo real positivo).
No exercício, temos quatro números complexos, alguns já estão na forma retangular e outros na polar. Nosso objetivo é converter cada número para a outra forma, ou seja, transformar os que estão em retangular para polar e vice-versa.
Vamos precisar usar algumas fórmulas básicas de conversão entre essas duas formas e uma calculadora científica para ajudar nos cálculos.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro número, $ A = 3 + j4 $.
Forma Retangular para Polar:
Para converter da forma retangular para polar, usamos as seguintes fórmulas:
  • Módulo ($ r $): $ r = \sqrt{a^2 + b^2} $
  • Argumento ($ \theta $): $ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) $
Onde:
  • $ a = 3 $ (parte real)
  • $ b = 4 $ (parte imaginária)
Calculando o módulo:
A = 3 + j4
Calculando o argumento:
r
Então, a forma polar de $ A $ é:
r = raiza^2 + b^2

Passo 3

Agora, vamos para o segundo número, $ B = 2 + j7 $.
Forma Retangular para Polar:
Usando as mesmas fórmulas:
  • $ a = 2 $
  • $ b = 7 $
Calculando o módulo:
B = 2 + j7
Calculando o argumento:
a = 2
Então, a forma polar de $ B $ é:
b = 7

Passo 4

Vamos para o terceiro número, $ C = 50 , e{-j30\circ} $.
Forma Polar para Retangular:
Para converter da forma polar para retangular, usamos:
  • Parte Real ($ a $): $ a = r \cos(\theta) $
  • Parte Imaginária ($ b $): $ b = r \sin(\theta) $
Onde:
  • $ r = 50 $
  • $ \theta = -30^\circ $ (o sinal negativo indica que o ângulo está abaixo do eixo real)
Calculando a parte real:
C = 50 , e^-j30^circ
Calculando a parte imaginária:
a
Então, a forma retangular de $ C $ é:
a = r cos(theta)

Passo 5

Por último, temos $ D = 30 , e{j45\circ} $.
Forma Polar para Retangular:
Usando as mesmas fórmulas:
  • $ r = 30 $
  • $ \theta = 45^\circ $
Calculando a parte real:
D = 30 , e^j45^circ
Calculando a parte imaginária:
r = 30
Então, a forma retangular de $ D $ é:
theta = 45^circ

Resposta

  • A:
    • Retangular: $ 3 + j4 $
    • Polar: $ 5 , e{j53,13\circ} $
  • B:
    • Retangular: $ 2 + j7 $
    • Polar: $ 7,28 , e{j74,05\circ} $
  • C:
    • Polar: $ 50 , e{-j30\circ} $
    • Retangular: $ 43,30 - j25 $
  • D:
    • Polar: $ 30 , e{j45\circ} $
    • Retangular: $ 21,21 + j21,21 $

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