Considere os seguintes números complexos e calcule o resultado das operações solicitadas, representado nas formas retangular e polar. Utilize a calculadora científica para realizar os cálculos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com números complexos, que são números que têm uma parte real e uma imaginária. Eles podem ser representados de duas formas principais:
- Forma Retangular: onde a gente escreve o número como $ a + jb $, sendo $ a $ a parte real e $ b $ a parte imaginária.
- Forma Polar: onde descrevemos o número em termos de módulo (a distância do número até a origem no plano) e argumento (o ângulo que ele forma com o eixo real positivo).
No exercício, temos quatro números complexos, alguns já estão na forma retangular e outros na polar. Nosso objetivo é converter cada número para a outra forma, ou seja, transformar os que estão em retangular para polar e vice-versa.
Vamos precisar usar algumas fórmulas básicas de conversão entre essas duas formas e uma calculadora científica para ajudar nos cálculos.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro número, $ A = 3 + j4 $.
Forma Retangular para Polar:
Para converter da forma retangular para polar, usamos as seguintes fórmulas:
- Módulo ($ r $): $ r = \sqrt{a^2 + b^2} $
- Argumento ($ \theta $): $ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) $
Onde:
- $ a = 3 $ (parte real)
- $ b = 4 $ (parte imaginária)
Calculando o módulo:
Calculando o argumento:
Então, a forma polar de $ A $ é:
Passo 3
Agora, vamos para o segundo número, $ B = 2 + j7 $.
Forma Retangular para Polar:
Usando as mesmas fórmulas:
- $ a = 2 $
- $ b = 7 $
Calculando o módulo:
Calculando o argumento:
Então, a forma polar de $ B $ é:
Passo 4
Vamos para o terceiro número, $ C = 50 , e{-j30\circ} $.
Forma Polar para Retangular:
Para converter da forma polar para retangular, usamos:
- Parte Real ($ a $): $ a = r \cos(\theta) $
- Parte Imaginária ($ b $): $ b = r \sin(\theta) $
Onde:
- $ r = 50 $
- $ \theta = -30^\circ $ (o sinal negativo indica que o ângulo está abaixo do eixo real)
Calculando a parte real:
Calculando a parte imaginária:
Então, a forma retangular de $ C $ é:
Passo 5
Por último, temos $ D = 30 , e{j45\circ} $.
Forma Polar para Retangular:
Usando as mesmas fórmulas:
- $ r = 30 $
- $ \theta = 45^\circ $
Calculando a parte real:
Calculando a parte imaginária:
Então, a forma retangular de $ D $ é:
Resposta
-
A:
- Retangular: $ 3 + j4 $
- Polar: $ 5 , e{j53,13\circ} $
-
B:
- Retangular: $ 2 + j7 $
- Polar: $ 7,28 , e{j74,05\circ} $
-
C:
- Polar: $ 50 , e{-j30\circ} $
- Retangular: $ 43,30 - j25 $
-
D:
- Polar: $ 30 , e{j45\circ} $
- Retangular: $ 21,21 + j21,21 $