Considere os seguintes números complexos e calcule o resultado das operações solicitadas, representado nas formas retangular e polar. Utilize a calculadora científica para realizar os cálculos:
A=3+j 4
B=2+j 7
C=50 e^-j3 0^circ
D=30 e^i 45^circ
C.D

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem alguns números complexos aí e precisamos calcular o produto entre o número C e o D. A gente vai fazer isso de duas maneiras: na forma retangular (com parte real e imaginária) e na forma polar (com módulo e ângulo). Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar números complexos nessas duas formas. Vamos usar uma calculadora científica para dar uma mão com os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das formas dos números complexos que temos:
  • C está na forma polar: $ C = 50 e{-j30\circ} $
  • D também está na forma polar: $ D = 30 e{j45\circ} $
Na forma polar, qualquer número complexo pode ser representado como $ re^{j\theta} $, onde $ r $ é o módulo (ou tamanho) e $ \theta $ é o ângulo.

Passo 3

Quando multiplicamos dois números complexos na forma polar, a gente simplesmente multiplica os módulos e soma os ângulos. A regra é:
C cdot D = (rC times rD) cdot e^j(thetaC + thetaD)
Onde:
  • $ r_C = 50 $
  • $ \theta_C = -30^\circ $
  • $ r_D = 30 $
  • $ \theta_D = 45^\circ $

Passo 4

Vamos aplicar essa regra:
C cdot D = (50 times 30) cdot e^j(-30^circ + 45^circ)
Calculando:
50 times 30 = 1500
-30^circ + 45^circ = 15^circ
Então:
C cdot D = 1500 cdot e^j15^circ

Passo 5

Agora, temos o produto na forma polar: $ 1500 \cdot e{j15\circ} $.
Para converter isso para a forma retangular (ou seja, na forma $ a + jb $), vamos usar as fórmulas:
1500 cdot e^j15^circ
a + jb
Onde:
  • $ r = 1500 $
  • $ \theta = 15^\circ $

Passo 6

Calculando os componentes reais e imaginários:
a = 1500 cos(15^circ)
b = 1500 sin(15^circ)
Usando a calculadora:
cos(15^circ) approx 0,9659
sin(15^circ) approx 0,2588
Então:
a approx 1500 times 0,9659 = 1448,85
b approx 1500 times 0,2588 = 388,2

Resposta

O produto $ C \cdot D $ resulta em:
  • Forma Polar: $ 1500 \cdot e{j15\circ} $
  • Forma Retangular: $ 1448,85 + j388,2 $

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