Um resistor de 20 Ω está ligado em paralelo com um indutor de 5 mH. Essa combinação em paralelo está ligada em série com um resistor de 5 Ω e um capacitor de 25 μF.
Calcule a impedância dessa interligação se a frequência for 2 krad/s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um circuito com resistores, indutor e capacitor organizados de uma maneira específica. O que a gente precisa calcular é a impedância total desse circuito quando a frequência é de 2, krad/s. Para isso, vamos lembrar dos conceitos de impedância em circuitos de corrente alternada (AC) e como combinar componentes em série e em paralelo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as impedâncias individuais de cada componente. A impedância de um resistor é simplesmente o valor da resistência, R. Já a impedância de um indutor é dada por jomega L e a de um capacitor é 1jomega C, onde:
  • j é a unidade imaginária,
  • omega é a frequência angular,
  • L é a indutância,
  • C é a capacitância.

Passo 3

Vamos calcular a impedância do resistor de 20, Omega:
ZR = 20, Omega

Passo 4

Agora, a impedância do indutor de 5, mH:
ZL = jomega L = j times 2000, rad/s times 5 times 10^-3, H = j10, Omega

Passo 5

Como o resistor de 20, Omega e o indutor de 5, mH estão em paralelo, precisamos calcular a impedância equivalente dessa combinação. Para componentes em paralelo, usamos a fórmula:
1Zpar = 1ZR + 1ZL
Substituindo:
1Zpar = 120 + 1j10 = 0.05 - j0.1
Agora, invertemos para achar Zpar:
Zpar = 10.05 - j0.1 = 0.05 + j0.1(0.05)^2 + (0.1)^2 = 0.05 + j0.10.0125 = 4 + j8, Omega

Passo 6

Em seguida, temos uma combinação em série com um resistor de 5, Omega e um capacitor de 25, muF. Primeiro, vamos calcular a impedância do capacitor:
ZC = 1jomega C = 1j times 2000, rad/s times 25 times 10^-6, F = 1j0.05 = -j20, Omega

Passo 7

Agora, somamos as impedâncias em série. A impedância equivalente em série é a soma das impedâncias individuais:
Ztotal = Zpar + R + ZC = (4 + j8) + 5 + (-j20)
Somando as partes reais e imaginárias:
Ztotal = (4 + 5) + j(8 - 20) = 9 - j12, Omega

Resposta

A impedância total da interligação é 9 - j12, Omega.

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