Considere os seguintes números complexos e calcule o resultado das operações solicitadas, representado nas formas retangular e polar. Utilize a calculadora científica para realizar os cálculos:
A=3+j 4
B=2+j 7
C=50 e^-j3 0^circ
D=30 e^i 45^circ
A.C + B.D

Passo 1

Bele, vamos lá! A questão pede para a gente trabalhar com números complexos nas formas retangular e polar. Precisamos calcular a expressão $ A \cdot C + B \cdot D $. Para isso, vamos precisar entender como multiplicar e somar números complexos, além de converter entre as formas retangular e polar quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as formas dos números que temos:
  • $ A = 3 + j4 $ está na forma retangular ($ a + jb $).
  • $ B = 2 + j7 $ também está na forma retangular.
  • $ C = 50 e^{-j30°} $ está na forma polar ($ r e^{j\theta} $).
  • $ D = 30 e^{j45°} $ também está na forma polar.
Para facilitar as multiplicações, vamos converter todos os números para a mesma forma. Vamos converter $ A $ e $ B $ para a forma polar.

Passo 3

Vamos converter $ A $ para a forma polar. A fórmula para converter de retangular para polar é:
A
r = raiza^2 + b^2
Para $ A = 3 + j4 $:
theta = tan^-1(ba)
A = 3 + j4
Então, $ A $ em forma polar fica:
rA = raiz3^2 + 4^2 = 5

Passo 4

Agora, vamos converter $ B = 2 + j7 $ para a forma polar usando a mesma fórmula:
B = 2 + j7
rB = raiz2^2 + 7^2 = raiz4 + 49 = raiz53 approx 7,28
Portanto, $ B $ em forma polar é:
thetaB = tan^-1(72) approx 74,05°

Passo 5

Agora que todos os números estão na forma polar, vamos multiplicar $ A \cdot C $ e $ B \cdot D $. A regra para multiplicação na forma polar é multiplicar os módulos e somar os ângulos:
A cdot C
B cdot D
Calculando $ A \cdot C $:
A cdot C = rA cdot rC cdot e^j(thetaA + thetaC)
B cdot D = rB cdot rD cdot e^j(thetaB + thetaD)
A cdot C
Calculando $ B \cdot D $:
rA cdot rC = 5 cdot 50 = 250
thetaA + thetaC = 53,13° + (-30°) = 23,13°
A cdot C = 250 e^j23,13°

Passo 6

Agora, precisamos somar $ A \cdot C + B \cdot D $. Para somar dois números complexos na forma polar, é mais fácil convertê-los para a forma retangular.
Vamos converter $ A \cdot C $ e $ B \cdot D $ para a forma retangular usando:
A cdot C + B cdot D
A cdot C
Para $ A \cdot C = 250 e^{j23,13°} $:
B cdot D
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
Para $ B \cdot D = 218,4 e^{j119,05°} $:
A cdot C = 250 e^j23,13°
xAC = 250 cos(23,13°) approx 250 cdot 0,9205 approx 230,13
yAC = 250 sin(23,13°) approx 250 cdot 0,3907 approx 97,68
Agora, somamos $ A \cdot C + B \cdot D $:
A cdot C approx 230,13 + j97,68

Passo 7

Por fim, vamos converter o resultado $ 120,93 + j286,88 $ para a forma polar:
120,93 + j286,88
r = raiz120,93^2 + 286,88^2 approx raiz14.625 + 82.396 approx raiz97,021 approx 311,6

Resposta

O resultado de $ A \cdot C + B \cdot D $ é:
  • Forma Retangular: $ 120,93 + j286,88 $
  • Forma Polar: $ 311,6 e^{j66°} $

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