Considere os seguintes números complexos e calcule o resultado das operações solicitadas, representado nas formas retangular e polar. Utilize a calculadora científica para realizar os cálculos:
A.C + B.D
A.C + B.D
Passo 1
Bele, vamos lá! A questão pede para a gente trabalhar com números complexos nas formas retangular e polar. Precisamos calcular a expressão $ A \cdot C + B \cdot D $. Para isso, vamos precisar entender como multiplicar e somar números complexos, além de converter entre as formas retangular e polar quando necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as formas dos números que temos:
- $ A = 3 + j4 $ está na forma retangular ($ a + jb $).
- $ B = 2 + j7 $ também está na forma retangular.
- $ C = 50 e^{-j30°} $ está na forma polar ($ r e^{j\theta} $).
- $ D = 30 e^{j45°} $ também está na forma polar.
Para facilitar as multiplicações, vamos converter todos os números para a mesma forma. Vamos converter $ A $ e $ B $ para a forma polar.
Passo 3
Vamos converter $ A $ para a forma polar. A fórmula para converter de retangular para polar é:
Para $ A = 3 + j4 $:
Então, $ A $ em forma polar fica:
Passo 4
Agora, vamos converter $ B = 2 + j7 $ para a forma polar usando a mesma fórmula:
Portanto, $ B $ em forma polar é:
Passo 5
Agora que todos os números estão na forma polar, vamos multiplicar $ A \cdot C $ e $ B \cdot D $. A regra para multiplicação na forma polar é multiplicar os módulos e somar os ângulos:
Calculando $ A \cdot C $:
Calculando $ B \cdot D $:
Passo 6
Agora, precisamos somar $ A \cdot C + B \cdot D $. Para somar dois números complexos na forma polar, é mais fácil convertê-los para a forma retangular.
Vamos converter $ A \cdot C $ e $ B \cdot D $ para a forma retangular usando:
Para $ A \cdot C = 250 e^{j23,13°} $:
Para $ B \cdot D = 218,4 e^{j119,05°} $:
Agora, somamos $ A \cdot C + B \cdot D $:
Passo 7
Por fim, vamos converter o resultado $ 120,93 + j286,88 $ para a forma polar:
Resposta
O resultado de $ A \cdot C + B \cdot D $ é:
- Forma Retangular: $ 120,93 + j286,88 $
- Forma Polar: $ 311,6 e^{j66°} $