Considere os seguintes pontos experimentais:
l (x1, y1)=(1,2) (x2, y2)=(2,2.5) (x3, y3)=(3,3) (x4, y4)=(4,4) (x5, y5)=(5,3.5)
Utilize o método dos mínimos quadrados para encontrar a equação da reta que melhor ajusta esses pontos. Em seguida, determine o valor estimado de y para x=6 usando a reta encontrada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um conjunto de pontos experimentais e o objetivo é encontrar a melhor reta que se ajusta a esses pontos usando o método dos mínimos quadrados. Depois, vamos usar essa reta para estimar o valor de quando . Para isso, vamos precisar entender como calcular a equação da reta da forma , onde é o coeficiente angular e é o intercepto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o método dos mínimos quadrados busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela reta. Para isso, precisamos calcular algumas somas importantes:
Sx &= sum xi Sy &= sum yi Sxy &= sum xi yi Sxx &= sum xi^2
Vamos calcular cada uma dessas somas com os pontos dados.

Passo 3

Vamos calcular Sx = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 :

Passo 4

Agora, vamos calcular Sy = 2 + 2.5 + 3 + 4 + 3.5 = 15 :

Passo 5

Em seguida, calculamos Sxy = (1 times 2) + (2 times 2.5) + (3 times 3) + (4 times 4) + (5 times 3.5) = 2 + 5 + 9 + 16 + 17.5 = 49.5 :

Passo 6

Agora, calculamos Sxx = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 :

Passo 7

Com essas somas, podemos encontrar os coeficientes a = nSxy - Sx SynSxx - (Sx)^2 e b = Sy - a Sxn da reta usando as seguintes fórmulas:
Onde é o número de pontos, que aqui é 5.

Passo 8

Vamos calcular a = 5 times 49.5 - 15 times 155 times 55 - 15^2 = 247.5 - 225275 - 225 = 22.550 = 0.45 :

Passo 9

Agora, vamos calcular b = 15 - 0.45 times 155 = 15 - 6.755 = 8.255 = 1.65 :

Passo 10

Então, a equação da reta que melhor se ajusta aos pontos é:
y = 0.45x + 1.65

Passo 11

Agora, para estimar o valor de y = 0.45 times 6 + 1.65 = 2.7 + 1.65 = 4.35 quando , basta substituir na equação:

Resposta

A reta que melhor ajusta os pontos é e o valor estimado de para é 4.35.

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