Considere as seguintes proposições e suas respectivas demonstrações:
A1- Proposição: Se n é ímpar, então n + 1 é par.
Demonstração: Vamos provar a contrapositiva, ou seja: se n é par, então n + 1 é ímpar. Como n é par, então n = 2 k para algum inteiro k. Disto obtemos que n + 1 = 2k + 1. Logo, como k é inteiro, temos que n + 1 é par.
A2- Proposição: Se n é ímpar, então n + 1 é par.
Demonstração: Suponha, por absurdo, que n é par. Assim, existe um inteiro k tal que n = 2 k. Mas então n + 1 = 2k + 1, e portanto n + 1 é ímpar. Contradição.
A3- Proposição: Se n é ímpar, então n + 1 é par.
Demonstração: Vamos provar a contrapositiva, ou seja: se n + 1 é ímpar, então n é par.
Suponha, por absurdo, que n + 1 é ímpar mas n não é par. Então n é ímpar, e portanto existe um inteiro k tal que n = 2k + 1. Disto obtemos que n + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1). Mas então n + 1 é par, o que contradiz a hipótese de n + 1 ser ímpar. Estas demonstrações são respectivamente:
Escolha uma opção:
a. correta, incorreta,correta
b. incorreta, incorreta,correta
c. correta,correta,incorreta
d. incorreta,correta,correta
e. incorreta,incorreta,incorreta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente analisar três demonstrações da proposição: “Se n é ímpar, então n + 1 é par.” A gente vai precisar entender um pouco sobre números pares e ímpares, além de como provar afirmações usando contrapositiva e absurdo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um número ser par ou ímpar. Um número é par se ele pode ser escrito como , onde k é um inteiro. Já um número é ímpar se pode ser escrito como .

Passo 3

Agora, vamos analisar cada demonstração:
A1-
  • Proposição: Se n é ímpar, então n + 1 é par.
  • Demonstração: Usa a contrapositiva corretamente? Na verdade, não. A demonstração tenta provar que se n é par, então n + 1 é ímpar. Mas isso não é a contrapositiva da proposição original. Além disso, no final, afirma que n + 1 é par, o que está errado porque é ímpar.
  • Conclusão: Incorreta

Passo 4

A2-
  • Proposição: Se n é ímpar, então n + 1 é par.
  • Demonstração: Faz uma prova por absurdo, assumindo que n é par. Porém, isso não ataca diretamente a proposição original. A proposição fala sobre n ser ímpar, então assumir que n é par não é eficiente para provar a afirmação.
  • Conclusão: Incorreta

Passo 5

A3-
  • Proposição: Se n é ímpar, então n + 1 é par.
  • Demonstração: Usa a contrapositiva corretamente: “Se n + 1 é ímpar, então n é par.” A prova assume que n + 1 é ímpar e mostra que isso leva a uma contradição, confirmando que n deve ser par.
  • Conclusão: Correta

Resposta

b. incorreta, incorreta, correta

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