Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! Temos um problema com uma equação diferencial que é assim:
O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais, especificamente métodos para resolver Equações Diferenciais Separáveis. Vamos precisar separar as variáveis e para conseguir integrar e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que a gente consiga separar as variáveis e . A equação dada é:
Lembrando que , podemos reescrever a equação como:
Agora, vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por e dividindo por :
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. Vamos lembrar que para integrar algo da forma , usamos logaritmos.
Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:
Passo 4
Vamos igualar as integrais e combinar as constantes:
Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde é uma nova constante.
Passo 5
Para eliminar os logaritmos, vamos aplicar a função exponencial em ambos os lados:
Podemos simplificar para uma nova constante :
Passo 6
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e :
Passo 7
Com , a equação fica:
Agora, vamos resolver para em termos de . Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo o lado direito:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador: