Determine uma solução explicita para os PVI(a) { y' = (y^2 - 1) / (x^2 - 1) ; y(2) = 2 }

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! Temos um problema com uma equação diferencial que é assim:
O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais, especificamente métodos para resolver Equações Diferenciais Separáveis. Vamos precisar separar as variáveis e para conseguir integrar e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que a gente consiga separar as variáveis e . A equação dada é:
Lembrando que , podemos reescrever a equação como:
Agora, vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por e dividindo por :

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. Vamos lembrar que para integrar algo da forma , usamos logaritmos.
Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:

Passo 4

Vamos igualar as integrais e combinar as constantes:
Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde é uma nova constante.

Passo 5

Para eliminar os logaritmos, vamos aplicar a função exponencial em ambos os lados:
Podemos simplificar para uma nova constante :

Passo 6

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e :

Passo 7

Com , a equação fica:
Agora, vamos resolver para em termos de . Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo o lado direito:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Expandindo:
Simplificando termos semelhantes:
Dividindo por 2:

Resposta

A solução explícita do PVI é .

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