Considere as seguintes retas:
r: x-13=y-53=z+25 e s: 2 x=2 y=z-12
Estude a posição relativa entre r e s.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional, chamadas e . A gente precisa descobrir como elas estão posicionadas uma em relação à outra. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, como vetores diretores e pontos das retas, para analisar se elas são paralelas, se intersectam ou se são skew (retas que não são paralelas e nem se cruzam).

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das retas de uma forma mais fácil de trabalhar. A reta x-13 = y-53 = z+25 está dada por:
x = 1 + 3t, y = 5 + 3t, z = -2 + 5t
Isso significa que podemos parametrizar usando um parâmetro :
Então, um ponto na reta é e o vetor diretor é .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a reta 2x = 2y = z-12 :
x = s, y = s, z = 1 + 4s
Podemos reescrever isso também em termos de um parâmetro :
Então, um ponto na reta é (quando ) e o vetor diretor é .

Passo 4

Para estudar a posição relativa, primeiro vamos verificar se as retas são paralelas. Isso acontece se os vetores diretores são múltiplos um do outro. Vamos ver:
u = (3, 3, 5) e v = (1, 1, 4)
Claramente, não há nenhum número que multiplique para resultar em . Portanto, as retas não são paralelas.

Passo 5

Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se intersectam. Para isso, precisamos achar se existe um valor de 1 + 3t = s e 5 + 3t = s que satisfaça as equações das duas retas simultaneamente:
-2 + 5t = 1 + 4s
1 + 3t = 5 + 3t implies 1 = 5
Das duas primeiras equações, temos:
Isso é impossível, o que significa que as retas não têm nenhum ponto em comum.

Passo 6

Como as retas e não são paralelas e também não se intersectam, concluímos que elas são retas skews. Isso significa que elas estão no mesmo espaço tridimensional, mas não se cruzam e não são paralelas.

Resposta

As retas e são retas skews, ou seja, não são paralelas e não se intersectam.

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